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Leitidee WachstumDialogMathe5.3.3 Beispiel 3: radioaktiver ZerfallBei radioaktiven Zerfallsprozessen gibt man meist die Halbwertszeit T 1 an -2die Zeit, nach der nur mehr die Hälfte der ursprünglichen Menge übrig ist.a) Die Halbwertszeit von radioaktivem Jod beträgt 8 Tage. Gib die Zerfallsfunktionan! ( N 0 : Anfangsmenge, N(t): Menge nach t Tagen)Wie viel Jod ist nach 10 Tagen noch vorhanden?Ansatz: N(t) = N ⋅ q0Bestimmung des Wachstumsfaktors qNN(8) = = N ⋅ q20 80q = 8 12= 0,917N(t) = N ⋅ 0,9170tt100 0N(10) = N ⋅ 0,917 = 0,42 ⋅ NAnsatz: N(t) = N0⋅ e −λ⋅tBestimmung der Zerfallskonstante λN0N(8) = = N0⋅ e2ln(2)λ = = 0,086680−λ⋅80,0866 tN(t) = N ⋅ e − ⋅− 0,0866 ⋅100 0N(10) = N ⋅ e = 0,42 ⋅ N⇒ 42% der ursprünglichen Menge N 0⇒ 42% der ursprünglichen Menge N 0b) Wie viel Prozent der vorhandenen Menge zerfallen pro Tag?Nach 1 Tag ist die Restmengeq = 0,917 = 91,7%N(1) = N0·e -0,0866 = N0·0,917⇒ die Abnahme beträgt 8,3%⇒ es sind 8,3% zerfallen.c) Wann ist nur mehr 1% der ursprünglichen Menge vorhanden?t0,01 ⋅ N0 = N0⋅ 0,9170,0866t0,01 ⋅ N0 = N0⋅ e −t0,917 = 0,01− 0,0866te = 0,01ln(0,01)ln(0,01)t = ≈ 53,2t = ≈ 53,2ln(0,917)−0,0866⇒ nach 53,2 TagenAnmerkung:Aus der GleichungN020−λ⋅T12= N ⋅ e erhält man die Beziehung λ ⋅ T1= ln(2)2100 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF