Exponentialfunktion Exponentialfunktion Training Training ...

FunktionenDialogMathe4.2 Modellbildung mit der Exponentialfunktion4.2.1 Ansatz für die ExponentialfunktionDie allgemeine Exponentialfunktion enthält vier Parameter a, b, c, d und denWachstumsfaktor q:y = a ⋅ qb⋅ x+c + dUm Wachstumsvorgänge in der Natur, der Technik oder der Wirtschaft zumodellieren genügt häufig ein vereinfachter Ansatz mit zwei Parametern.y = A ⋅ Bx(Ansatz mit zwei Parameter A und B) odery = A ⋅ e λ⋅x (Ansatz mit zwei Parameter A und λ )Beispiel Gegeben: Zwei Punkte P1 ( 2 | 40 ) ; P2( 5 | 320 )Gesucht: Exponentialfunktion, dessen Graph durch die beiden Punkte geht.Ansatz:y= A ⋅ BxSatz von Anan liefert das folgende Gleichungssystem:P ( 2 | 40 ) → 40 = A ⋅ B1P ( 5 | 320 ) → 320 = A ⋅ B2Wie lässt sich dieses Gleichungssystem am besten auflösen!2540 = A ⋅ B320 = A ⋅ B25Gleichung 2 durch Gleichung 1 dividieren ergibt:5320 A ⋅ B 33= 8 = = B → B = 8 = 240 2A ⋅ B40 40A = = = 10 Exponentialfunktion: y = 10 ⋅ 2 x2 2B 2Ansatz:y = A ⋅ e λ⋅xSatz von Anan liefert das folgende Gleichungssystem:40 = A ⋅ e320 = A ⋅ e2⋅λ5⋅λGleichung 2 durch Gleichung 1 dividieren ergibt:5⋅λ320 A ⋅ e 3⋅λln( 8 )= 8 = = e → λ = = ln( 2)40 2⋅λA ⋅ e340 40lnA = = = 10 Exponentialfunktion:( 2y = 10 ⋅ e )2⋅λ2e 2Beachte:( ) ⋅ ( ) xy = 10 ⋅ e = 10 ⋅ ⎡⎣e ⎤⎦ = 10 ⋅ 2ln 2 x ln 2 x⋅x80 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF