Exponentialfunktion Exponentialfunktion Training Training ...

Leitidee WachstumDialogMatheBeispiel KapitalwachstumJährliche Verzinsung eines Kapitals: K = K ⋅ ( 1+p ) nAnzahl Jahre: nZinssatz pro Jahr : pn 0Kapital in Funktion der Zeit: K ( t ) = K ⋅ ( 1 + p )Verzinsung nach einem Bruchteil eines Jahres:∆ t = Jahr (pro Monat: m = 12)1mZinssatz pro 1 m Jahr: pm( ) ( ) m ⋅ tp= ⋅ +K t K 10 m1 Jahr0t1 JahrSubstitution:pm= k ,p⋅k⋅t( ) =1( ) 1 Jahr10 ⋅ + = ⎡0 ⋅ ( + )K t K 1 K 1k⎣kk⎤⎦p⋅t1 JahrKontinuierliches System∆t → 0⇒m → ∞m = p ⋅ k ( p = konstant )⇒ k → ∞⎡⎣1( ) k⎤⎦lim 1 + = ?k→∞kk→∞1( ) klim ⎡ 1 + ⎤ = 2,71828182 …⎣ k ⎦e = 2,71828182 … (Euler 'sche Zahl)Die Euler‘sche Zahl istirrational (analog π ).p⋅tp⋅tk⎤ 1Jahr 1Jahr0 k0( ) ⎡ 1( )K t = K ⋅ 1+ = K ⋅ e⎣ ⎦94 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF