Exponentialfunktion Exponentialfunktion Training Training ...

EinführungDialogMathe1.4 Finanzmathematik für Fortgeschrittene1.4.1 Das Black-Scholes-ModellEs handelt sich um ein finanzmathematisches Modell zur Bewertung vonFinanzoptionen, das von Fischer Black und Myron Samuel Scholes 1973 (nachzweimaliger Ablehnung durch renommierte Zeitschriften) veröffentlichtwurde und als ein Meilenstein der Finanzwirtschaft gilt. Erst mehr als zweiJahrzehnte später (1997) hat die Formel die ihr gebührende weltweiteAnerkennung bekommen: den „Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften“Die Black-Scholes-Differentialgleichung kann durch geeignete Substitutionenauf die Gestalt einer Wärmeleitungsgleichung transformiert werden. Esergeben sich als explizite Lösungen die Werte von Call und Put:r ( T tC )( S,t ) S ( d ) K e − ⋅ −= ⋅ Φ − ⋅ ⋅ Φ ( d )1 2r ( T tP )( S,t ) K e − ⋅ −= ⋅ ⋅ Φ ( −d ) − S ⋅ Φ ( − d )2 1wobeid1Sln⎛ ⎞⎜ r T tK⎟ + +2 ⋅ σ ⋅ −=⎝ ⎠σ ⋅ T − t1 2( ) ( ), d2 = d1− σ ⋅ T − t undx−∞11 2− ⋅zΦ2( x ) = ⋅ e dz2π ∫ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilungbezeichnet. Der Wert einer Option ist also durch 5 Parameterbestimmt:S: aktueller Aktienkursr: mit der Restlaufzeit der Option kongruenter Zinssatzσ : Die zukünftige Volatilität des Basiswertes. Diese ist bei Vertragsabschlussdie einzige unbekannte Grösse und damit letztlich Gegenstand derPreisfindung zwischen den Vertragsparteien. Im Black-Scholes-Modellwird die Volatilität σ als konstant angenommen, was jedoch nicht zutrifft.T – t: Restlaufzeit der Option mit Gesamtlaufzeit T zum Zeitpunkt tK: Basispreis, als Vertragsbestandteil festgelegtAnwendungsgebiete für das Black-Scholes-ModellZahlreiche Händler und Investoren von heute benutzen täglich das bewährteBlack-Scholes-Modell, um Aktienoptionen weltweit zu bewerten. Es existieren16 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF