Exponentialfunktion Exponentialfunktion Training Training ...

Leitidee SystemdenkenDialogMatheVolterra-Systeme“ bekannt geworden.Betrachten wir die Populationen von Räuber und Beute jeweils getrennt, sogilt für jede das lineare Wachstums- bzw. Zerfallsmodell. Die Veränderungder Population ist dann proportional zu ihrer jeweiligen Grösse und derspezifischen Netto-Wachstumsrate. Unbegrenzte Weidekapazitätvorausgesetzt, vermehrt sich der Beutebestand ohne Räuber exponentiell mitder Wachstumsrate a, während der Räuberbestand ohne Beute durchVerhungern ebenfalls exponentiell mit der Schwundrate d abnimmt. DieDifferentialgleichungen für die Veränderungsraten der Beutepopulation Bund der Räuberpopulation R lauten:∆ B = a ⋅ B∆t;∆ R = − d ⋅ R∆tDie besonderen dynamischen Eigenschaften eines Räuber-Beute-Systemsberuhen nun darauf, dass die beiden Populationen nichtlinear miteinanderverkoppelt sind. Die Verluste der Beutepopulation durch Gefressenwerdenund die entsprechenden Gewinne der Räuberpopulation durch das Fressenwerden nämlich von der Häufigkeit der Begegnungen zwischen Räuber undBeute abhängen, und damit von dem Produkt beider Populationen B ⋅ R :Die Chance, dass Räuber und Beute aufeinander treffen, nimmt mit derGrösse beider Bestände zu. Bei einem Teil dieser Begegnungen wird Beutevon Räubern gefressen. Entsprechen verringert sich der Beutebestand(Faktor b), während der Bestand der Räuber durch den Energiegewinnzunimmt (Faktor c).Die Differentialgleichungen des Lotka-Volterra-Systems lauten daher:∆ B = a ⋅ B − b ⋅ B ⋅ R∆t∆ R = c ⋅ B ⋅ R − d ⋅ R∆ tDieses einfache Grundmodell lässt sich durch Hinzufügen weiterer Gliederausbauen, mit denen die Wirkung von begrenzter Weidekapazität, vonKonkurrenz unter den Räubern, von Beuteüberangebot, vonZeitverzögerungen und Zufallseffekten berücksichtigt werden können.138 Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF