Exponentialfunktion Exponentialfunktion Training Training ...

DialogMatheÜbungen Gleichungen4 FunktionenDie Exponentialfunktionen z. B. f ( x ) = 2x sind wichtige Zuordnungen, die inder Natur, der Technik oder auch in unserem Alltag immer wieder inErscheinung treten. Etwa bei folgenden Fragestellungen:• Wie lange stand ein Bierglas an der Theke, bevor es serviert wurde?• Wann und warum bricht Milch, wenn wir sie ungekühlt stehen lassen?• Wie stark wächst die Erdbevölkerung und wie stark die Menge der zurVerfügung stehenden Nahrungsmittel?• Wie würde sich die Vogelgrippe ausbreiten, wenn sie auf den Menschenübertragen wird?• Wie kann ich durch eine Rente meine Altervorsorge sichern?• Wie lässt sich die Luftqualität im Schulzimmer, im Kino optimieren?Da diese Funktionen häufig die zeitliche Entwicklung eines Systemsbeschreiben (Wachstum oder Zerfall), wird die unabhängige Variable x durcht ersetzt: aus f ( x ) = 2x wird dann f ( t ) = 2t.Erinnere dich an das Sparkonto, dessen Kapital sich durch Zinsen undZinseszinsen vergrössert, wobei wir für die Zeitvariable n (Anzahl Jahre)gewählt haben K = K ⋅ ( 1+ p ) n (siehe Seite 3).n 0In diesem Kapitel versuchen wir die Exponentialfunktion und dessen Eigenschaftenzu verstehen. Die Entwicklung eines Systems kann in Zeitschritten∆ t berechnet werden. Wir können zwei Arten von Systemen unterscheiden:diskrete und kontinuierliche Systeme. Ein diskretes System haben wir schonkennen gelernt, nämlich das Sparkonto. Das Kapital wächst jeweils am Endeeiner Zeitperiode (1Jahr). Würde die Zeitperiode für die Verzinsung beimSparkonto verkleinert z.B. jede Sekunde, so bekämen wir ein kontinuierlichesSystem (Grenzwert: Zeitperiode wird beliebig klein, d.h. sie strebt gegenNull). Beim Übergang von einem diskreten zu einem kontinuierlichen System⎡entsteht der Grenzwert1( )k ⎤lim⎢1+ = e ≈ 2,71828183⎣ k ⎥… (Eulersche Zahl)⎦k→∞Die „natürliche“ Exponentialfunktion f ( x ) = ex spielt in der Natur und derLerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 77