Exponentialfunktion Exponentialfunktion Training Training ...

DialogMatheMathematische Modellbildung dynamischer Systeme1.3.3 Anwendung KapitalwachstumFragestellungGleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten ist, kommen in derPraxis häufig vor, z.B. bei Wachstumsprozessen. Wir wollen als Beispiel dasWachstum eines Kapitals auf einem Konto einer Bank analysieren.In welcher Zeit wächst ein Rappen beim Zinssatz 4% zu einem Franken an?K 0 = Anfangskapital (1 Rappen = 0,01 Fr. )K = Kapital nach n Jahren mit Zinssatz p = 0,04 ( Knn= 1 Fr. )Manchmal wird präzise zwischen Zinsfuss und Zinssatz unterschieden. DerZinsfuss ist dann die Zahl vor dem %-Zeichen, bei einem Zinssatz von 4 % istalso der Zinsfuss p = 4, dagegen ist der Zinssatz p = 4 % =4100 = 0,04.Analyse: Wachstum des Kapitals (exponentielles Wachstum ! )Kapital nach dem 1. Jahr: K = K + p ⋅ K = K ⋅ ( 1+p )1 0 0 0Anfangskapital wird mit dem Faktor 1+ p multipliziert.Kapital nach dem 2. Jahr: K = K + p ⋅ K = K ⋅ ( 1+ p ) = K ⋅ ( 1+p ) 22 1 1 1 0Kapital nach dem 3. Jahr: K = K + p ⋅ K = K ⋅ ( 1+ p ) = K ⋅ ( 1+p ) 33 2 2 2 0usw. allgemein für das Kapital nach n Jahren : K = K ⋅ ( 1+p ) nn 01+ p heisst Wachstumsfaktor. Wir erhalten das Kapital Knindem wir denWachstumsfaktor mit n potenzieren und mit dem Anfangskapital K0multiplizieren. Dieses Verhalten des Kapitals nennen wir exponentiellesWachstum. Sind alle Grössen ausser n bekannt, so muss die Gleichung nach naufgelöst werden!K K ( 1 p ) n= ⋅ + ; n = ? Schwierigkeit : Unbekannte im Exponent!n 0Strategie: Gleichung logarithmieren!K = K ⋅ ( 1+p ) n / : Kn 0 0KKn0= ( 1+ p ) n / logarithmieren , [ log( ) = Logarithmus zur Basis 10 ]Knlog⎡ ⎤log ⎡( 1 p ) n ⎤⎢= +⎣ K ⎥⎦⎣ ⎦0Der Exponent n kann nun als Faktor vor demLogarithmus geschrieben werden, so dass nach n aufgelöst werden kann.Lerneinheit 5 | Logarithmen, Exponentialfunktion, Wachstum | 2012/13 | © BF 13