Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

Annahme: gleichwahrscheinlich
A: mindestens zwei am gleichen Tag
A: alle an verschiedenen Tagen
�
�A � � = 365 · 364 · . . . · (365 − (n − 1))
P (A) = 365·364·...·(365−(n−1))
365 n
= 365 364 365−(n−1)
365 · 365 ·...· 365 = 1·(1− 1 2
n−1
365 )·(1− 365 )·...·(1− 365 )
Wir nehmen nun eine Abschätzung vor, durch: e x ≈ (1 − x) für kleine x
1 − P (A) ≈ e 365 · e
1 − 365
P (A) ≈ e
2 −
� (n−1)n
2
P (A) ≈ 1 − e −(n−1)n
730
365 · ... · e
�
2. Ausgleich beim Spiel:
− n−1
= e −(n−1)n
730
365 = e
- zwei gleichstarke Gegner, kein Remis
- 2n Spiele
1 − 365 (1+2+...+(n−1))
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 2n Spielen Gleichstand herrscht?
Ω = {(s1, s2, ..., s2n) : si ∈ {A, B}}
|Ω| = 2 2n
Annahme: gleichwahrscheinlich
A2n: Gleichstand nach 2n Spielen
�
2nn
�
|A2n| =
Hilfsmittel: Stirlingsche Formel
d.h.:
durch Einsetzen erhält man:
P (A2n) =
n! ≈as
�
2nn
�
=: a2n
22n √ 2πn · n n · e −n =: cn
n!
lim = 1
n→∞ cn
n! − cn
⇒ lim = 0
n→∞ cn
lim
n→∞ a2n = lim
n→∞
1
√ πn = 0