Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

X1, X2, . . . , Xn- unabhängig
Sn = X1 + X2 + . . . + Xn
ESn = E(X1 + X2 + . . . + Xn) = EX1 + . . . + EXn = nEX1 = µ
(Vor.: Verteilung muss einen EW besitzen)
V arSn = V ar(X1 + X2 + . . . + Xn) = V arX1 + . . . + V arXn = nV arX1 = nσ 2
(Vor.: 0 < σ 2 < ∞)
Satz 3.3:
Es seinen X1, X2, . . . unabhängig, identisch verteilte ZG mit 0 < σ2 < ∞. Dann gilt für alle x ∈ ℜ:
� �
Sn−np
√ ≤ x = Φ(x).
nσ
Bemerkungen:
lim
n→∞ P (S∗ n ≤ x) = lim
n→∞ P
1. Sn = X1 + . . . + Xn:
Viele unabhängige, im Vergleich zum Ganzen kleine Effekte überlagern sich und liefern
näherungsweise die Normalverteilung.
2. Es gibt zahlreiche Verallgemeinerungen dieses Satzes.
3. Mitteln von Messwerten ¯ Xn = Sn
n
P (a ≤ ¯ Xn ≤ b) = P (an ≤ Sn ≤ bn)
� √
(b − µ) n
= P
σ
≤ S ∗ n ≤ (a − µ)√ n
σ
Die drei Probleme bei Messgrößen können näherungsweise gelöst werden.
z.B.
P ( � � ¯ Xn − µ � � ≤ 3 σ
√ n ) ≈ 0, 997
D.h. es gilt das 1
√n - Gesetz.
4. Es existieren Aussagen über den Fehler der Approximation.
�