Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

Die Varianz im Diskreten: E(X − EX) 2 , bleibt im Stetigen erhalten.
Alle Eigenschaften gelten fort.
Beispiele
1. X gleichverteilt auf [a, b]
�b
V arX =
a
2. X ∼ N(µ, σ 2 )
X − µ ∼ N(0, σ 2 )
V arX = V ar(X − µ)
o.B.d.A. µ = 0
V arX = E(X − EX) 2 =
�∞
−∞
(X − a+b
2 )2 1
(b−a)2
· b−adx = . . . = 12
V arX =
=
=
�∞
−∞
= σ 2
1
√ 2πσ
1
√ 2πσ
x 2 1
√2πσ e
�∞
−∞
= σ 2 · 1
�∞
−∞
x2 −
2σ2 dx
x2 −
x · xe 2σ2 dx
⎡
�
� x2
⎣�
�xe− (X − EX) 2 f(x)dx
�
�
2σ2 (−σ 2 ∞
) �
�
−∞
1
x2 −
√ σe 2σ
2π 2 dx
−
�∞
−∞
−σ 2 x2 −
e
Warum mitteln wir beim Messen einer physikalischen Größe?
- häufige Annahme: Messgröße X ∼ (µ, σ 2 )
- Zusatzannahme: µ = w (wahrer Wert)
- X1, . . . , Xn unabhängige Messungen mit N(w, σ 2 )
¯X = 1
n (X1 + X2 + . . . + Xn) arithmetisches Mittel
¯X ∼ N(w, 1
n σ2 )
2σ 2 dx
⎤
⎦