Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

X:
-2 0 2
1
8
EX = 0
3
4
1
8
V arX = EX 2 = 1
k = 2 P (−2 < X < 2) = P (X = 0) = 0, 75
Die Ungleichung ist nicht zu verbessern, d.h. sie ist eine scharfe Ungleichung.
Wir betrachten nun:
X1, X2, . . . unabhängige ZG’en.
Dann ist auch: X1+X2+...+Xn
n
Für: ω ∈ Ω ist:
X1(ω)+X2(ω)+...+Xn(ω)
n
eine ZG.
eine Zahl, die die Realisierung der ZG angibt.
Satz 1.23: Das schwache Gesetz der großen Zahlen
Es seinen X1, X2, . . . unabhängige ZG mit gleichem EW EX1 und V arXi ≤ M < ∞.
Dann gilt ∀ɛ > 0:
lim
n→∞ P �� � X1+...+Xn
n
�
− EX1
� ≥ ɛ � = 0
Durch das schwache Gesetz der großen Zahlen wird in der Modellebene der Sachverhalt des
Stabilwerdens in der Beobachtungsebene wiedergespiegelt.
Satz 1.24: Das starke Gesetz der großen Zahlen
Es seinen X1, X2, . . . unabhängige ZG mit EXi = EX und V arXi = σ 2 < ∞.
Dann gilt:
Folie 7: Gesetz der großen Zahlen
X1+...+Xn
P ({ω ∈ Ω : lim
n→∞ n = EX1}) = 1