Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

weiter mit unserem Beispiel:
Berechnung der Varianz:
V arX = (2 − 4) 2 · 1
3 + (4 − 4)2 · 1
3 + (6 − 4)2 · 1 1
=
3 8
Ef(x) mit f(x) = (x − EX) 2
V arX = �
(xk − EX) 2 · pk
k
V arY = (2 − 4) 2 · 3
8 + (4 − 4)2 · 1
4 + (6 − 4)2 · 3 24
= = 3
8 8
V arZ = (2 − 4) 2 · 1
8 + (4 − 4)2 · 3
4 + (6 − 4)2 · 1
= 1
8
Definition 1.15: empirische Streuung
Die empirische Streuung der Beobachtungswerte x1, . . . , xn ist definiert als:
n�
(xi − ¯x) 2 .
Dann heißt:
s 2 = 1
n
s = √ s 2
empirische Standardabweichung.
i=1
Eine andere Beziehung zwischen Varianz und EW
X: x1 x2 · · · xn
p1 p2 · · · pn
Vorhersage: v
Verlustfunktion: (X − v) 2
Welche Vorhersage minimiert den EW des Verlustes? (EX = v)
(Eine andere Beziehung: Verlustfunktion |X − v| → v = Median (X))
f(v) = E(X − v) 2
= E(X 2 − 2vX + v 2 )
= EX − 2vEX + v 2
= (v − EX) 2 + EX 2 − (EX) 2