Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

Definition 2.1: σ-Algebra
Sei Ω �= ⊘.
Eine Familie A von Teilmengen von Ω heißt σ-Algebra, falls:
Bsp.:
Ω = ℜ
1. Ω ∈ A
2. wenn A ∈ A, dann auch Ā ∈ A
3. wenn A1, A2, . . . ∈ A, dann auch ∞�
Ak ∈ A.
M= {(a, b] : a < b; a, b ∈ ℜ} ist keine σ-Algebra
Satz 2.1: Eigenschaften σ-Algebra
k=1
Ist A eine σ-Algebra von Teilmengen von Ω, so gilt:
Folgerung:
1. ⊘ ∈ Ω
A, B ∈ A ⇒ A\B ∈ A
Bsp.:
Ω = ℜ
2. A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A und A ∩ B ∈ A
3. A1, A2, . . . ∈ A ⇒ ∞�
Ak ∈ A.
M= {(a, b] : a < b; a, b ∈ ℜ}
M ist keine σ-Algebra
k=1
Sei B die kleinste σ-Algebra die M enthält.
• Die Menge aller Teilmengen von ℜ ist eine σ-Algebra
• Seien A1, A2 σ-Algebren → A 1 ∩ A2= {A1 ∩ A2 : A1 ∈ A1,A2 ∈ A2} ist auch eine
σ-Algebra.
• �
M⊂A
A= B A - σ-Algebra; B-Borelsche σ-Algebra