Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

Satz 1.5:
In dem beschriebenen Rahmen wird durch:
P (ω) = P (ω1, . . . , ωn) = P (ω1) · P (ω2|ω1) · P (ω3|ω1, ω2) · . . . · P (ωn|ω1, . . . , ωn−1)
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω definiert mit folgenden Eigenschaften:
1) P (X1 = a1) = P1(a1) für alle a1 ∈ Ω1
2) P (Xi = ai|X1 = a1, X2 = a2, ..., Xi−1 = ai−1) = Pi(ai|a1, ..., ai−1)
mit (X1 = a1, X2 = a2, ..., Xi−1 = ai−1) = ({X1 = a1} ∩ ... ∩ {Xi−1 = ai−1})
Der obige Ansatz ist der einzige mit den Eigenschaften 1) und 2).
Mehrstufige Vorgänge in der Schule:
1. Pfadregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten ent-
lang dieses Pfades.
2. Pfadregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der-
jenigen Pfade, die für dieser Ereignis günstig sind.
Beispiel: Polyasches Urnenmodell
- einfaches Modell zur Ausbreitung ansteckender Krankheiten
- Urne mit w weißen und s schwarzen Kugeln
- Kugel ziehen, Farbe notieren und Kugel und c Kugeln derselben Farbe zurücklegen
- n mal wiederholen
- c ∈ N = {1, 2, ...}
für n=3:
allgemein:
P ((s, s, w)) =
s · (s + c) · w
(s + w)(s + w + c)(s + w + 2c)
Es kommt nur auf die Anzahl der schwarzen Kugeln an (bzw. weißen).