Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik
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Poissonverteilungen werden auch als Verteilungen der seltenen Ereigisse bezeichnet.<br />
Warum?<br />
Wegen der langen BK mit kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit.<br />
Bsp.: zum Blumenstraußproblem<br />
- ersetze n-tes Folgeglied durch Grenzwert<br />
n = 400 p = 1<br />
365<br />
np = 1, 096 =: λn<br />
�<br />
P (X ≤ 2) ≈<br />
1 + 1, 096 + 1,0962<br />
2!<br />
Wie genau ist dieser Wert?<br />
Satz 1.13:<br />
Es sei: np (n) = λ > 0, dann gilt:<br />
∞� ��<br />
� n�<br />
� k<br />
k=0 �n� Hierbei ist k = 0 für k ≥ n.<br />
�<br />
e −1,096 = 0, 90<br />
(p (n)) k (1 − p (n)) n−k − λk<br />
k! e−λ<br />
Bsp.: Fehlerabschätzung zum Blumenstraußproblem<br />
|P (X ≤ 2) − Πλ(2)|<br />
�<br />
�<br />
� ≤ 2λ · min(λ, 2).<br />
= |[P (X = 0) − Πλ(0)] + [P (X = 1) − Πλ(1)] + [P (X = 2) − Πλ(2)]|<br />
�<br />
�<br />
= �<br />
�<br />
≤<br />
����<br />
1<br />
�� 400<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
≤ ∞�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
k=0<br />
0<br />
�� 400<br />
�<br />
p0 (1 − p) 400 − λ0<br />
0! e−λ<br />
�<br />
0<br />
� 400<br />
k<br />
�<br />
p0 (1 − p) 400 − λ0<br />
0! e−λ<br />
��<br />
���<br />
+ |[. . .]| +<br />
�<br />
p k (1 − p) 400−k − λk<br />
2·1,096<br />
≤<br />
���� 400 · 1, 096 = 0, 006<br />
2<br />
1 Dreiecksungleichung<br />
2 Satz 1.13)<br />
+<br />
k! e−λ<br />
�� �<br />
400<br />
1 p1 (1 − p) 399 − λ1<br />
1! e−λ<br />
�<br />
+<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�� 400<br />
2<br />
n<br />
�<br />
p2 (1 − p) 398 − λ2<br />
2! e−λ<br />
��<br />
���<br />
�� �<br />
400<br />
2 p2 (1 − p) 398 − λ2<br />
2! e−λ<br />
��<br />
���
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