Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

Satz 2.8:
Seien Xi ZG mit den Dichten fi. X1, X2, . . . , Xn sind unabhängig ⇔
Faltungen
Problem:
f(x1, . . . , xn) = f1(x1) · . . . · fn(xn).
X1 ∼ f1, X2 ∼ f2 unabhängig.
S = X1 + X1
Was ist die Verteilung von der Summe?
P (S ≤ s) =
=
P (X1 + X2 ≤ s)
� �
{(x1,x2)∈ℜ 2 :x1+x2≤s}
: u := x1 + x2 v := x2
�s
�∞
= f1(u − v)f2(v)dvdu
=
F (s) =
−∞ −∞
�
s
−∞
�s
−∞
⎡
�
⎣
∞
−∞
D.h. f1 ∗ f2 ist die Dichte der Summe S.
f1(u − v)f2(v)dv⎦
du
f1(x1)f2(x2)dx2dx1
⎤
� �� �
f1∗f2(u)
f1 ∗ f2(u)du
Definition 2.8:
∞�
f(u) = f1(u − v)f2(v)dv heißt Faltung der Dichten f1 und f2.
−∞
Es ist die Dichte der Summe unabhängiger ZG mit den Dichten f1 und f2.
Analogie zum diskreten Fall:
X1 ∼ B(n, p) , X2 ∼ B(m, p)