Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik
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Definition 1.10: Erwartungswert<br />
Ist (Ω, P ) ein diskreter Wraum <strong>und</strong> X : Ω → R eine ZG, für die die Reihe<br />
�<br />
|X(ω)| P (ω)<br />
konvergiert, dann heißt:<br />
der Erwartungswert von X.<br />
Bemerkung:<br />
ω∈Ω<br />
EX = �<br />
ω∈Ω<br />
X(ω)P (ω)<br />
Der Wert X(ω) wird gewichtet mit seiner Wahrscheinlichkeit, d.h. EX ist ein gewichtetes<br />
Mittel.<br />
Satz 1.15:<br />
Falls EX existiert, gilt:<br />
�<br />
Interpretation der Erwartungswerte:<br />
1. Wir beobachten X n-mal.<br />
k<br />
xk · P (X = xk) = �<br />
k xk · pk.<br />
x1 x2 ... xr<br />
Häufigkeitsverteilung:<br />
hn(x1) hn(x2) ... hn(xr)<br />
Der Wert hn(xk) ist die relative Häufigkeit von xk bei n Beobachtungen.<br />
arithmetisches Mittel:<br />
angenommen n ist sehr groß:<br />
Beobachtungsebene Modellebene<br />
hn(A) P (A)<br />
¯x EX<br />
2. Wo ist das Gleichgewicht?<br />
¯x = x1hn(x1) + x2hn(x2) + ... + xrhn(xr)<br />
¯x ↩→ x1p1 + ... + xrpr = EX
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