Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

Definition 2.3: Verteilungsfunktion
Eine Funktion F : ℜ → ℜ heißt Verteilungsfunktion (VF) einer Wahrscheinlichkeitsverteilung P
auf (ℜ, B) wenn ∀x ∈ ℜ gilt:
F (x) = P ((−∞, x])
(−∞, x] = ∞�
(−n, x] (Borelmenge)
Satz 2.2: Eigenschaften der VF
n
Wenn F die VF einer Verteilung P ist, dann gilt:
Satz 2.3:
i) F ist monoton wachsend
ii) F ist rechtsseitig stetig
iii) lim F (x) = 0 und lim F (x) = 1
x→−∞ x→+∞
Sei F eine Funktion mit den Eigenshaften i)-iii) aus Satz 2.3) einer VF.
Dann ist durch:
P((a,b])=F(b)-F(a), a < b, a, b ∈ ℜ
eindeutig eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf (ℜ, B) festgelegt.
2.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Dichten
Definition 2.4: Dichte
Eine Dichte f ist eine Funktion f : ℜ → ℜ mit:
i) f(x) ≥ 0 ∀x ∈ ℜ
ii)
∞�
f(x)dx = 1,
−∞
wobei das Integral als Riemann Integral verstanden wird.