Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

- Fläche unter dem Graphen = 1, da (b − a) 1
b−a
- Intervalle gleicher Länge in [a, b] sind gleichwahrscheinlich
Vorgang:
zufällige Auswahl eines Punktes aus dem Intervall [a, b].
(c, d) ⊂ [a, b]
P (ω ∈ (c, d)) =
�d
2. Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0
⎧
⎨ λe
f(x) =
⎩
−λx ; x ≥ 0
0 ; x < 0
Verteilungsfunktion:
c
1 d − c
dx =
b − a b − a
F (x) = P ((−∞, x]) =
x ≤ 0 F (x) = 0
�x
x > 0 F (x) = f(u)du
=
0
x
�
0
λe −λu du
= � −e −λu�x
0
= 1 − e −λx
�x
−∞
f(u)du
Charakteristisch für die Exponentialverteilung (unter den stetigen Verteilungen) ist
die Vergessenseigenschaft.
Es gilt:
P ((s + t, ∞)|(t, ∞)) = P ((s, ∞))
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nach s+t eintritt, wenn bekannt ist das
Ereignis bis t nicht eingetreten ist.
Beweis:
P ((s + t, ∞)|(t, ∞)) =
P ((s + t, ∞))
P ((t, ∞))