Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

Standardnormalverteilung/ Gaußsche Glockenkurve
Spezialfall der Normalverteilung mit: µ = 0 und σ = 1
Verteilungsfunktion:
Symmetrieeigenschaft:
Beispiel:
a < 0
weitere Eigenschaften:
Φ(0) = 1
2
Φ(∞) = 1
Φ(−∞) = 0
φ(x) = 1
1 − √ · e 2
2π x2
Φ(x) =
�x
−∞
1
1 − √ · e 2
2π u2
du
Φ(x) = 1 − Φ(−x)
P ((a, b]) = Φ(b) − Φ(a)
Zurückführen von N(µ, σ 2 ) auf N(0, 1)
P µ,σ 2((a, b)) =
x ∈ ℜ
= Φ(b) − (1 − Φ(−a))
1
√ 2πσ
�b
x − µ
Substitution : z =
σ
=
=
1
√
2πσ
b−µ
σ
�
a−µ
σ
a
1 x−µ
− 2 ( σ )2
dx
e
b−µ
σ
�
a−µ
σ
φ(z)dz
1 −
e 2 z2
σdz
σdz = dx
� � � �
b − µ a − µ
= Φ − Φ
σ
σ