Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

Motivation für den nachfolgenden Satz:
Wir haben bis jetzt keine Regel für: P (A ∩ B).
Bedingte Wahrscheinlichkeiten helfen uns, soetwas zu berechnen.
Satz 1.4:
Seien A, A1, A2, ..., An, B Ereignisse mit P (B) > 0 und P (A1 ∩ . . . ∩ An−1) > 0.
Dann gilt:
1) P (A ∩ B) = P (B) · P (A|B)
2) P (A1 ∩ ... ∩ An) = P (A1) · P (A2|A1) · P (A3|A1 ∩ A2) · ... · P (An|A1 ∩ ... ∩ An−1)
Multiplikationsformel
Kopplung von Experimenten
Rahmen:
• n: Teilvorgänge
• Ωi: Ergebnismenge für i-ten Teilvorgang
• P1: Wahrscheinlichkeitsverteilung für 1. Teilvorgang
• Übergangswahrscheinlichkeiten
Pi(ωi|ω1, ..., ωi − 1)
Übergangswahrscheinlichkeiten für ω, zum i-ten Teilvorgang, wenn ω1, ..., ωi−1 die
Ergebnisse der Teilvorgänge 1, 2, ..., i − 1 waren, mit i = 1, 2, ..., n.
Modell für den Gesamtvorgang:
Ω = Ω1 × Ω2 × . . . × Ωn = {(ω1, ω2, ..., ωn) : ωi ∈ Ωi}
Zufallsgröße:
Xi(ω) = Xi((ω1, ..., ωn)) = ωi, Xi : Ω → Ωi
(Was ist im i-ten Teilexperiment passiert?)
Ereignis:
im i-ten Teilvorgang ist ωi eingetreten
⇔ {ω ∈ Ω : Xi(ω) = ωi} ⊂ Ω
kurz: {Xi(ω) = ωi} oder: {Xi = ωi}