Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

2. Zweidimensionale Normalverteilung
1
f µ,σ2 ,ρ(x, y) = �
2πσ1σ2 1 − ρ2 Folie: Dreidimensionale Darstellung
· e− 1
2(1−ρ 2 )
�� � x−µ1 2
σ 1
−2ρ (x−µ 1 )(y−µ 2 )
σ 1 σ 1
2.3 ZG und ihre Verteilung im allgemeinen Fall
(Ω, A, P ) - WRaum
X : Ω → ℜ
+
� y−µ2
Gesucht wird z.B.: P (X < 7) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) < 7})
� �� �
?∈A
Das (? ∈ A) muss gesichert werden für genügend viele Aussagen über Werte von X.
Definition 2.5: ZG
Sei (Ω, A, P ) ein WRaum.
Eine Funktion X : Ω → ℜ heißt ZG, falls für jede Borelmenge B ∈ B gilt:
{ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} ∈ A,
d.h. ist ein Ereignis im WRaum (Ω, A, P )
{ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B)
Urbild:
f : X → Y
f −1 (B) B ⊂ Y
f −1 (B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}
Definition 2.6: Verteilung der ZG X
Sei X eine ZG auf Ω. Die durch
PX(B) = P (X −1 (B)) ,B ∈ B
definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Verteilung der ZG X.
Bemerkung:
σ 2
� �
2