Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik
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S = X1 + X2 ∼ B(n + m, p)<br />
Beispiel:<br />
P (S = s)<br />
� �� �<br />
ˆ=f(s)<br />
=<br />
=<br />
s�<br />
P (X1 = s − v, X2 = v)<br />
v=0<br />
s�<br />
P (X1 = s − v)P (X2 = v)<br />
v=0<br />
� �� �<br />
∞�<br />
ˆ=<br />
−∞<br />
f1(s−v)f2(v)dv<br />
1. X1, X2 gleichverteilt auf [0, 1], unabhängig, S = X1 + X2<br />
f(u) =<br />
=<br />
=<br />
für 12 gleichverteilte ZG gilt:<br />
- die Ecken glätten sich<br />
�∞<br />
−∞<br />
�<br />
0<br />
1<br />
⎪⎩<br />
f(u − v)f(v)dv<br />
f(u − v)1dv<br />
⎧<br />
⎫<br />
0 ; u < 0, u ≥ 2<br />
⎪⎨ u�<br />
⎪⎬<br />
1dv = u ; 0 ≤ u ≤ 1<br />
0<br />
1�<br />
u−1<br />
1dv = 2 − u ; 1 < u ≤ 2<br />
- bei 12 ZG ähnelt die Verteilung schon der Normalverteilung<br />
S = X1 + X2 + . . . + X12 ≈ N(0, 6)<br />
2. Summe zweier unabhängiger normalverteilter ZG<br />
X1 ∼ N(µ1, σ 2 1) <strong>und</strong> X2 ∼ N(µ2, σ 2 2)<br />
⇒ X1 + X2 ∼ N(µ1 + µ2, σ 2 1 + σ 2 2)<br />
⎪⎭
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