Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik
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1. X ”transponiert” die Verteilung P nach (ℜ, B). Ergebnis ist PX.<br />
PX(B) = P (X ∈ B) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B})<br />
PX((a, b)) = P (a < X < b)<br />
PX((−∞, c]) = P (X ≤ c)<br />
2. Ist PX wirklich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?<br />
(a) PX(B) ≥ 0<br />
(b) PX(ℜ) ℜ sicheres Ereignis bezüglich PX<br />
(c)<br />
3. Schreibweise: X ∼ PX<br />
z.B. X ∼ N(µ, σ 2 )<br />
PX(ℜ) = P (X −1 (ℜ))<br />
= P ({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ ℜ})<br />
= P (Ω) = 1<br />
PX( ˙∪Bk) = P (X −1 ( ˙∪Bk))<br />
= P ( ˙∪X −1 (Bk))<br />
= � P (X −1 (Bk))<br />
= � PX(Bk)<br />
Hat PX eine Dichte f, so schreibt man auch X ∼ f.<br />
4. Oft taucht (Ω, A, P ) nicht mehr auf. Es heißt einfach X ∼ PX.<br />
5. Betrachte (Ω, A, P ) = (ℜ, B, P )<br />
X : ℜ → ℜ<br />
Alle stetigen / monotonen Funktionen <strong>und</strong> Funktionen mit abzählbar vielen Un-<br />
stetigkeitsstellen sind ZG.
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