Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

1.10 Tschebyschewsche Ungleichung und Gesetz der grossen
Zahlen
Satz 1.22: Tschebyschewsche Ungleichung (1867)
Sei X eine ZG mit EX 2 < ∞ und ɛ > 0 eine beliebige reelle Zahl.
Dann gilt:
Folgerungen:
Beispiele:
1. X ∼ B(10; 0, 25)
EX = 2, 5
P (|X − EX| ≥ ɛ) ≤
V arX
ɛ2 .
ɛ := k √ V arX
P (|X − EX| ≥ k √ V arX
V arX) ≤
k2V arX
P (|X − EX| < k √ V arX) ≥ 1 − 1
k2 k = 1 :
P (|X − EX| < k √ V arX) ≥ 0
k = 2 :
P (|X − EX| < k √ V arX) ≥ 0, 75
k = 3 :
P (|X − EX| < k √ V arX) ≥ 0, 89
√ V arX = σ ≈ 1, 37
= 1
k 2
k = 1 P (1, 13 < X < 3, 87) = P (2 ≤ X ≤ 3) = 0, 53 > 0 (diskrete ZG)
k = 2 P (0 ≤ X ≤ 5) = 0, 98 > 0, 75
k = 3 P (0 ≤ X ≤ 6) = 0, 997 > 0, 89
Die Tschebyschewsche Ungleichung unterschätzt hier die tatsächlichen Wahrschein-
lichkeiten. Die Abweichungen resultieren aus der Allgemeinheit der Ungleichung.
2. Ist die Tschebyschewsche Ungleichung scharf?