Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

⎧
⎨
Y =
⎩
Nr. des 1.Erfolges
0
:
:
falls X > 0
falls X = 0
q =: 1 − p
Y X 0 1 2 3
0 q 3 0 0 0 q 3
1 0 pq 2 pq 2 pq 2 3pq 2
2 0 2p 2 q p 2 q 0 3p 2 q
3 0 p 3 0 0 p 3
q 3 p pq pq 2 1
Für n beliebig gilt:
P (X = k, Y = l) =
Für 0 < p < 1 sind X und Y nicht unabhängig.
Bemerkung:
Unabhängigkeit von ZG ist oft eine Modellannahme.
Satz 1.18:
Sind X und Y unabhängige ZG und A, B ⊆ R, so gilt:
� �
n−l
k − 1 p k (1 − p) n−k
P (X ∈ A, Y ∈ B) = P (X ∈ A)P (Y ∈ B).
A, B repräsentieren beliebige Aussagen über die Werte von X bzw. Y.
Definition 1.17: Unabhängigkeit von mehreren ZG
Die ZG X1, X2, . . . , Xn heißen unabhängig, falls für beliebige A1, A2, . . . , An ⊆ R
die Produktformel gilt:
Bemerkung:
P (X1 ∈ A1, . . . , Xn ∈ An) = P (X1 ∈ A1) · . . . · P (Xn ∈ An).
1. Aus der Unabhängigkeit von n ZG folgt die Unabhängigkeit jeder endlichen Teilfamilie
von ZG.