Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik
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Satz 3.2: Berry-Esseen<br />
Ist Sn ∼ B(n, p) <strong>und</strong> 0 < p < 1, so gilt:<br />
sup |P (S<br />
x∈ℜ<br />
∗ n ≤ x) − Φ(x)| ≤ 1 √ ·<br />
2πn (1−p)2 +p 2<br />
√ ≤ √ 1<br />
p(1−p) 2πnp(1−p)<br />
für p = 0, 5: ≤ 1 √<br />
2πn<br />
Stetigkeitskorrektur:<br />
Wir hatten bisher:<br />
P (a ≤ Sn ≤ b) ≈ Φ<br />
� �<br />
b−np<br />
σ<br />
mit Stetigkeitskorrektur:<br />
P (a ≤ Sn ≤ b) ≈ Φ<br />
� b+ 1<br />
2 −np<br />
σ<br />
Beispiel: (Würfelbeispiel)<br />
P (90 ≤ Sn ≤ 110) ≈ Φ<br />
� 110+ 1<br />
− Φ � � a−np<br />
σ<br />
�<br />
− Φ<br />
2 −100<br />
σ<br />
� 1 a− 2 −np<br />
�<br />
σ<br />
�<br />
− Φ<br />
� 90− 1<br />
2 −100<br />
σ<br />
�<br />
= 0, 75<br />
Bei einem sehr großen σ macht die Stetigkeitskorrektur keinen Sinn, aber bei kleinem σ.<br />
Beispiel: Die Macht einer resoluten Minderheit<br />
1. Ausschuss aus 5 Personen<br />
Zwei Personen sind für das Projekt A.<br />
Die drei restlichen Personen sind unentschlossen.<br />
A: Projekt A wird beschlossen<br />
X3: Anzahl der unentschlossenen Personen die für A sind<br />
Annahme:<br />
X3 ∼ B � 3, 1<br />
�<br />
2<br />
unabhängig, keine Präferenzen<br />
P (A) = P (X3 ≥ 1)<br />
= 1 − P (X3 = 0)<br />
= 1 − 0, 5 3<br />
= 0, 875
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