Vorlesungsskript - Mathematik und ihre Didaktik

- f ist minimal für v = EX und es gilt:
E(X − EX) 2 = EX 2 − (EX) 2
Beispiel: Varianz der Binomialverteilung
X ∼ B(n, p)
X = IA1 + IA2 + . . . + IAn, Ak = {ω ∈ Ω : ω1 = 1}
EX = n · p
EX 2 = E(IA1 + IA2 + . . . + IAn) 2
= E(I 2 A1 + I2 A2 + . . . + I2 An
+ �
i�=j
= E(IA1 + IA2 + . . . + IAn + �
i�=j
= EIA1 + EIA2 + . . . + EIAn + �
IAiIAj )
IAi∩Aj )
i�=j
EIAi∩Aj
= P (A1) + P (A2) + . . . + P (An) + �
P (Ai ∩ Aj)
= n · p + �
p 2
i�=j
EX 2 = np + (n 2 − n)p 2
V arX = EX 2 − (EX) 2
= np + (n 2 − n)p 2 − (np) 2
= np + n 2 p 2 − np 2 − n 2 p 2
V arX = np − np 2
= np(1 − p)
Die Varianz ist ein Maß für die Streuung um den EW einer ZG.
Wie verhält sich die Varianz einer binomialverteilten ZG?
X ∼ B(n, p)
EX = n · p
V arX = n · p · (1 − p)
i�=j