Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

2 CHAPITRE 1. LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE
Considérons, maintenant, la nouvelle expression
L = T − V (1.1.3)
définie par l’étrange différence de l’énergie cinétique, T , et de l’énergie potentielle, V .
Cette expression est clairement une fonction L(r, ˙r) de la position r et de la vitesse ˙r
de la particule. On trouve facilement
∂L
∂ ˙r
= m˙r et
∂L
∂r
= −∂V
∂r
de sorte que les équations de Newton (3.2.22) peuvent se réécrire de la manière
suivante
m¨r + ∂V
∂r
= d
dt
Nous avons donc prouvé le résultat suivant :
∂L
−
∂ ˙r
∂L
∂r
= 0.
Définition-Théorème 1.1.1. Soit T l’énergie cinétique d’une particule plongée
dans un potentiel V ; on appelle lagrangien du système la fonction L = T − V .
Le système des équations du mouvement de Newton est équivalent au système des
équations de Lagrange
d
dt
∂L
∂ ˙r
− ∂L
∂r
= 0 &
dr
dt
= ˙r (1.1.4)
Remarque 1.1.2. Le théorème précédent reste, bien entendu, valable dans le cas
général d’un potentiel V (r, t) dépendant explicitement du temps.
Exercice 1.1.3. Soit L(r, ˙r) = 1
2 m(˙r2 −ω 2 r 2 ) un lagrangien défini sur R 3 ×R 3 ;
écrire les équations de Lagrange. En donner la solution générale. Interprétation
physique ?
Exercice 1.1.4. Soit L(r, θ, ˙r, ˙ θ) = 1
2 ( ˙r2 + r 2 ˙ θ 2 ) ; écrire les équations de Lagrange.
Donner la solution générale (r(t), θ(t)) de ce système d’équations différentielles. Que
représentent ces courbes du plan euclidien ?
Exercice 1.1.5. Trouver l’expression du lagrangien L(θ, ˙ θ) d’un pendule simple de
masse m, longueur ℓ dans le champ de pesanteur g = const.