Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

4.3. CINÉTIQUE DES SOLIDES 55
Définition 4.3.4. On appelle centre de masse (ou encore centre d’inertie)
d’un ensemble de points matériels le point G défini par
OG = R (4.3.4)
où R désigne le barycentre du système relativement au point O.
Remarquons que le centre de masse G est, contrairement au barycentre, indépendant
du choix d’une origine O.
Exercice 4.3.5. Prouver, par exemple dans le cas discret, que le centre de masse G
est uniquement défini par la relation
N
mi GMi = 0 (4.3.5)
i=1
qui en constitue une définition alternative.
Un corollaire important du Théorème général I (4.1.4) et de la définition (4.3.2),
(4.3.3) du barycentre est donné par la
Proposition 4.3.6. Le mouvement R(t) du barycentre d’un système de masse to-
tale M est régi par l’équation différentielle suivante
où f désigne la force totale extérieure.
M ¨ R = f (4.3.6)
Le mouvement du barycentre correspond au mouvement d’un point matériel de
masse, la masse totale, soumis à une force représentée par la force totale extérieure.
Exercice 4.3.7. (i) Déterminer la position du centre de masse G d’un demi-disque
homogène de rayon R. (ii) Même question pour un hémisphère plein de rayon R.
Démonstration. (i) Considérons le demi-disque S défini par x 2 + y 2 ≤ R 2 et 0 ≤ y ;
si M désigne la masse de S et ϱ = M/( 1
2πR2 ) sa densité on a clairement R = (0, Y )
où Y = (1/M)
S ϱ y dxdy = (2/πR2 )
r sin θ rdrdθ, i.e Y = 4R/(3π).
[O,R]×[0,π]
(ii) Si l’hémisphère plein de rayon R est défini par x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 et 0 ≤ z,
on trouve R = (0, 0, Z) où Z = 3
8 R.