Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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42 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES EN REPÈRES MOBILES 3.2.5 Forces inertielles : introduction générale Considérons un point matériel de masse m, soumis, à l’action d’une force dont l’expression est f(r, ˙r, t) dans un référentiel inertiel donné. Comment formuler les équations du mouvement du système dans un référentiel non inertiel déduit du précédent par une transformation (3.2.13) ? Il suffit simplement d’utiliser le résultat fondamental donné par l’expression (3.2.20) ! La deuxième loi de Newton peut se réécrire, grâce à (3.2.20), comme ou encore comme ma = f (3.2.22) f = m arel + 2ω × vrel + ˙ω × rrel + ω × (ω × rrel) + ¨ b , marel = f − 2mω × vrel − m ˙ω × rrel − mω × (ω × rrel) − m ¨ b (3.2.23) en mettant en évidence de nouvelles forces intervenant dans la formulation des équations du mouvement en référentiel accéléré, les forces d’inertie. 6 Définition-Théorème 3.2.2. Les équations gouvernant le mouvement d’une particule de masse m se formulent comme suit dans un référentiel non inertiel marel = frel = f + fCor + fcentrif + fent où les forces d’inertie sont respectivement 7 fCor = −2mω × vrel (force de Coriolis) fcentrif = −mω × (ω × rrel) (force centrifuge) fent = −m ˙ω × rrel − m ¨ b (force d ′ entrainement) (3.2.24) (3.2.25) 6. On rencontre aussi le terme “forces fictives” dans la littérature ancienne ; cette terminologie est trompeuse car les forces d’inertie sont des forces bien réelles comme chacun peut en faire l’expérience dans la vie courante. 7. Attention ! Les formules (3.2.25) donnent bien les composantes des forces inertielles, mais exprimées dans le repère . . . fixe !
3.2. CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS NON INERTIELS 43 Déduisons enfin de (3.2.23) une formulation alternative des équations du mouvement dans un référentiel accéléré arbitraire. Théorème 3.2.11. Les équations gouvernant le mouvement d’une particule de masse m se formulent comme suit dans un référentiel non inertiel m ¨ R = F − 2mΩ × ˙ R − m ˙ Ω × R − mΩ × (Ω × R) − mA −1¨ b (3.2.26) en terme des grandeurs cinématiques et dynamiques relatives, où F défini par f(r, ˙r, t) = A(t) F(R, ˙ R, t) (3.2.27) représente les composantes de la force extérieure dans le référentiel mobile. Exercice 3.2.12. Désignons par g le champ de gravitation newtonien de la terre. Un pendule est au repos par rapport à la terre, au voisinage du sol ; déterminer son accélération relative arel en fonction de g, de la vitesse angulaire ω de la terre lors de son mouvement diurne et de la position rrel = const. du pendule. En déduire l’expression g(λ) de l’intensité de l’accélération de la pesanteur sur terre en fonction de la latitude λ, de la vitesse angulaire ω = ω, du rayon R de la terre et de la valeur de g0 = g(±π/2) aux pôles. N .B. Négliger les termes O(ω 4 ). Démonstration. Puisque vrel = 0 et ω = const. (la vitesse angulaire de la terre par rapport à un référentiel “fixe” copernicien est constante) et b = 0, (3.2.23) nous donne arel = g − ω × (ω × rrel). Alors g 2 = arel 2 ∼ = g 2 − 2〈g, ω × (ω × rrel)〉 en négligeant des termes d’ordre 4 en ω = 2π/(24h) ∼ = 7,27 10 −5 s −1 . On obtient donc g 2 ∼ = g 2 0 − 2〈g, ω〉〈ω, rrel〉 + 2ω 2 〈g, rrel〉 grâce à (3.2.7) et au fait que g0 = g aux pôles où rrel//ω. Le champ g = −krrel/R 3 étant central (ici k = const. > 0), on a 〈g, rrel〉 = −g0R au voisinage du sol. Mais 〈ω, rrel〉 = ωR cos(π/2 − λ) = ωR sin λ et 〈g, ω〉 = g0ω cos(π/2 + λ) = −g0ω sin λ. Alors g 2 ∼ = g 2 0 + 2g0ω 2 R sin 2 λ − 2g0ω 2 R entraîne g 2 ∼ = g 2 0 − 2g0ω 2 R cos 2 λ, c’est-à-dire g(λ) ∼ = g0 − ω 2 R cos 2 λ. (3.2.28) On vérifie que g(±π/2) = g0 aux pôles et gmin = g(0) ∼ = g0 − ω 2 R à l’équateur.
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