Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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40 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES EN REPÈRES MOBILES 3.2.3 Loi de transformation de la vitesse Si un point matériel se déplace dans le repère “fixe” sur une trajectoire M(t), sa vitesse “absolue” est, bien sûr, v(≡ vabs) = ˙r. Quid de sa vitesse relative i.e. de sa vitesse relativement au repère mobile ? En différentiant (3.2.13) par rapport au temps, il vient vrel = A ˙ R, (3.2.14) ˙r = ˙ AR + A ˙ R + ˙ b = ˙ AA −1 AR + A ˙ R + ˙ b = j(ω)AR + A ˙ R + ˙ b (3.2.15) = ω × rrel + A ˙ R + ˙ b grâce à la définition (3.2.4) du vecteur instantané de rotation dont on note ω(t) les composantes dans le repère fixe. Proposition 3.2.7. La vitesse absolue, v, d’un point matériel est reliée à sa vitesse relative, vrel (définie par (3.2.14)), par l’expression suivante v = vrel + ω × rrel + ˙ b (3.2.16) Exercice 3.2.8. Montrer que la loi (3.2.16) de transformation de la vitesse se lit de la manière suivante v = A ˙R −1 + Ω × R + A b˙ en terme des composantes dans le repère mobile ; on a posé (3.2.17) ω = AΩ (3.2.18) pour définir les composantes Ω du vecteur instantané de rotation dans le repère mobile.
3.2. CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS NON INERTIELS 41 3.2.4 Loi de transformation de l’accélération Nous pouvons maintenant tirer avantage des résultats précédents concernant la loi de transformation de la vitesse lors d’un changement de référentiel non inertiel pour déterminer celle de l’accélération. L’accélération absolue du point matériel est, bien entendu, a(≡ aabs) = ¨r. Comme en (3.2.14), définissons naturellement l’accélération relative du point par rapport au repère mobile selon arel = A ¨ R. (3.2.19) Proposition 3.2.9. L’accélération absolue, a, d’un point matériel est reliée à son accélération relative, arel (définie par (3.2.19)), par l’expression suivante a = arel + 2ω × vrel + ˙ω × rrel + ω × (ω × rrel) + ¨ b (3.2.20) Démonstration. En différentiant (3.2.15) par rapport au temps t, il vient ¨r = j( ˙ω)AR + j(ω) ˙ AR + j(ω)A ˙ R + ˙ A ˙ R + A ¨ R + ¨ b = j( ˙ω)AR + j(ω)j(ω)AR + j(ω)A ˙ R + j(ω)A ˙ R + A ¨ R + ¨ b = ˙ω × AR + ω × (ω × AR) + 2ω × A ˙ R + A ¨ R + ¨ b = ˙ω × rrel + ω × (ω × rrel) + 2ω × vrel + arel + ¨ b grâce aux définitions ci-dessus de la position, vitesse et accélération relatives. Exercice 3.2.10. Montrer que la loi (3.2.20) de transformation de l’accélération se lit de la manière suivante a = A ¨R + 2Ω × R ˙ + Ω ˙ × R + Ω × (Ω × R) + A −1¨ b en terme des composantes dans le repère mobile. Démonstration. Indication : utiliser (3.2.17). (3.2.21)
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