Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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70 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE instables 8 autour de la direction médiane e ′ 2. Voir la Figure suivante. 9 Figure 4.1 – Toupie de Poinsot Afin d’étudier maintenant le mouvement du solide relativement au repère fixe, introduisons un objet géométrique utile, l’ellipsoïde d’inertie E = {X ∈ R 3 〈X, I X〉 = 1} (4.4.12) relativement au repère mobile. Rappelons, cf. (4.4.10), que 2E = 〈Ω, I Ω〉, donc X = Ω √ 2E . (4.4.13) Si A(t) = (e ′ 1 e ′ 2 e ′ 3) ∈ SO(3) repère la position du solide autour du point O dans le référentiel fixe au temps t, on désignera par Et = A(t)E la position de l’ellipsoïde d’inertie au temps t par rapport au repère fixe. Théorème 4.4.5 (Poinsot). L’ellipsoïde d’inertie Et roule sans glisser sur un plan fixe perpendiculaire au moment angulaire constant ℓ. Démonstration. Le vecteur N = grad〈X, I X〉 = 2I X est automatiquement ortho- gonal à la surface (4.4.12) au point X ∈ E. Nous allons montrer que la norma- le n = A(t)N à Et au point x = A(t)X est colinéaire au vecteur (constant) ℓ. En effet, n = 2A(t)I X = 2A(t)I Ω/ √ 2E grâce à (4.4.13). Mais, cf. (4.3.17), le 8. Les courbes s’éloignent immédiatement des sommets médians après une modification infinitésimale du moment angulaire L. 9. http ://www.cds.caltech.edu/~marsden/books/Mechanics and Symmetry.html
4.4. EQUATIONS D’EULER & MOUVEMENTS DE POINSOT 71 moment angulaire est donné par L = I Ω relativement au solide et par ℓ = A(t)L dans le repère fixe, cf. (4.3.16) ; il s’ensuit que n = 2ℓ/ √ 2E est bien parallèle au moment angulaire ℓ. Le plan tangent TxEt en x ∈ Et est donc perpendiculaire au vecteur constant ℓ. Montrons que ce plan reste fixe au cours du temps. On a 〈ℓ, x〉 = 〈L, X〉 = 〈L, Ω〉/ √ 2E, grâce à (4.4.13) ; mais (4.4.10) entraîne alors 〈ℓ, x〉 = √ 2E = const. La projection du vecteur x(t) ∈ Et sur la direction du vecteur fixe ℓ reste constante : le plan TxEt est indépendant du temps t. Comme ˙x = ω × x = 0 puisque x est parallèle au vecteur instantané de rotation, ω, la vitesse du point de contact x ∈ Et avec le plan fixe TxEt est nulle et l’ellipsoïde d’inertie roule sans glisser. Exercice 4.4.6. (i) A quelle condition Ω0(t) = (0, 0, Ω0(t)) est-elle une solution des équations d’Euler (4.4.4) pour une toupie asymétrique ? (ii) Linéariser les équations d’Euler au voisinage de cette solution. (iii) En déduire l’expression approchée de l’évolution temporelle du moment angulaire L(t) = (L1(t), L2(t), L3(t)). Démonstration. (i) Supposons que l’on ait (4.4.9) avec I3 > 0. Alors, nécessairement ˙Ω0 = 0 et donc Ω0 = const. (rotation stationnaire autour du troisième axe). (ii) Posons Ω(t) = Ω0(t) + ε Z(t) avec ε ≪ 1 ; on obtient ˙ Z1 ∼ = Z2Ω0(I2 − I3)/I1 et ˙ Z2 ∼ = Z1Ω0(I3 − I1)/I2 avec ˙ Z3 ∼ = 0 modulo des termes en O(ε 2 ). (iii) Revenant au moment angulaire L = (I1Ω1, I2Ω2, I3Ω3), nous avons donc ˙L1 ∼ = Ω0 1 − I3 L2, I2 ˙ L2 ∼ = −Ω0 1 − I3 L1, I1 ˙ L3 ∼ = 0. Cherchant la solution générale de ce système avec l’Ansatz général : L1 = A1e iωt et L2 = A2eiωt avec ω ∈ R et A1, A2 ∈ C, on trouve ω = Ω0 1 − I3 1 − I3 avec A2 = iA1 (1 − I3/I1)/(1 − I3/I2). Posons A1 = L 1 − I3/I2 où L est une constante d’intégration que l’on peut choisir réelle ; on trouve alors L1(t) ∼ = L 1 − I3 cos ωt, L2(t) ∼ = −L 1 − I3 sin ωt, L3(t) ∼ = I3Ω0. I2 Le moment angulaire L(t) décrit donc une petite ellipse autour du vecteur e ′ 3. I1 I2 I1
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iv TABLE DES MATI ÈRES 3.1.2 Isom
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vi TABLE DES MATI ÈRES
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viii INTRODUCTION L’autre approch
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x INTRODUCTION
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2 CHAPITRE 1. LES ÉQUATIONS DE LAG
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