Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

26 CHAPITRE 2. LES ÉQUATIONS DE HAMILTON
symétrique : ω(δx, δ ′ x) ≡ −ω(δ ′ x, δx). (ii) On a de plus
ω(δx, δ ′ x) = δα(δ ′ x) − δ ′ α(δx) où α(δx) = p · δq (2.2.9)
et (iii) ker ω = {0}. Une telle application ω : T ∗ R n × T ∗ R n → R est appelée forme
symplectique canonique de l’espace des phases. 7
Démonstration. On a clairement l’identité ω(δx, δ ′ x) + ω(δ ′ x, δx) ≡ 0 et de plus
ω(δx, aδ ′ x + bδ ′′ x) ≡ a ω(δx, δ ′ x) + b ω(δx, δ ′′ x) pour tous a, b ∈ R ; d’où le (i).
L’expression (2.2.9) reproduit simplement la définition (2.2.8), ce qui justifie (ii).
Enfin, δx ∈ ker ω ssi ω(δx, δ ′ x) = 0 pour tout δ ′ x ; mais, cette dernière condition
implique à la fois δp = 0 et δq = 0, c’est-à-dire δx = 0, d’où (iii).
Soit H(x) un hamiltonien, le champ de vecteurs x ↦→ δHx défini par (2.2.6),
c’est-à-dire
ω(δHx, δ ′ x) ≡ −δ ′ H (2.2.10)
est le champ hamiltonien associé à H — déjà introduit en (2.2.5) ; cette dernière
définition est maintenant intrinsèque (car elle ne met en jeu que la fonction H et la
forme symplectique ω mais pas un système de coordonnées particulier).
Proposition 2.2.6. Les équations de Hamilton associées à un hamiltonien H(x)
prennent la forme d’une équation différentielle ordinaire du premier ordre, à savoir :
dx
dt = δHx (2.2.11)
avec la définition (2.2.10) du champ hamiltonien δH ; le crochet de Poisson de deux
observables F et G quelconques retient alors la forme suivante : {F, G} = δF G.
7. Il est possible, mais non obligatoire, de reformuler les résultats précédents en termes de formes
différentielles : ω = n
i=1 dpi ∧ dq i est une 2-forme inversible et fermée de T ∗ R n ; elle est, en fait
exacte puisque ω = dα avec α = n
i=1 pidq i .