Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

38 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES EN REPÈRES MOBILES
Exercice 3.2.2. Déterminer le vecteur instantané de rotation ω de la matrice A de
l’Exercice 3.1.9 dépendant du temps via une fonction θ(t).
Exercice 3.2.3. Vérifier que le produit vectoriel de ω, ω ′ ∈ R 3 est donné par
ω × ω ′ = j(ω)ω ′
Exercice 3.2.4. Montrer que le double produit vectoriel
(3.2.6)
ω × (ω ′ × ω ′′ ) = ω ′ 〈ω, ω ′′ 〉 − ω ′′ 〈ω, ω ′ 〉 (3.2.7)
de trois vecteurs ω, ω ′ , ω ′′ ∈ R 3 est donné par
Exercice 3.2.5. Vérifier l’identité suivante
pour tous ω, ω ′ ∈ R 3 .
j(ω)j(ω ′ ) = ω ′ ω − ω ω ′ . (3.2.8)
j(ω)j(ω ′ ) − j(ω ′ )j(ω) = j(ω × ω ′ ) (3.2.9)
Nous utiliserons enfin le résultat précieux :
Proposition 3.2.6. Soient A ∈ SO(3) et ω ∈ R 3 , on a alors
Aj(ω)A −1 = j(Aω). (3.2.10)
Démonstration. Nous avons, pour toute matrice A ∈ O(3) et tous u, v, ω ∈ R 3 ,
〈Au, Aω × Av〉 = vol(Au, Aω, Av)
= det(A)vol(u, ω, v)
= det(A)〈u, ω × v〉
et, grâce à (3.1.6) et (3.1.9), on obtient 〈u, A −1 j(Aω)Av)〉 = det(A)〈u, j(ω)v〉 pour
tous u, v ∈ R 3 , c’est-à-dire
A −1 j(Aω)A = det(A)j(ω) si A ∈ O(3). (3.2.11)
Le fait que det(A) = 1 si A ∈ SO(3) achève la preuve.