Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

12 CHAPITRE 1. LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE
Exercice 1.3.4. Donner la fonction F : R 2 ×R 2 → R 2 définissant l’espace de confi-
guration Q du double pendule plan. Vérifier que Q ∼ = S 1 × S 1 (tore 2-dimensionnel).
Comment le formalisme lagrangien se présente-t-il dans le cas de systèmes avec
liaisons holonomes ? Nous allons montrer que les équations de Lagrange se formulent
de fait en oubliant complètement les forces de liaison (contrairement au formalisme
newtonien, plus difficile à mettre en œuvre dans un sens).
Illustrons ceci en donnant un exemple élémentaire où un point matériel est as-
treint à se déplacer sur une courbe du plan euclidien (par exemple un cercle de rayon
donné pour le pendule simple). Nous supposons, en fait, notre point soumis à un
potentiel de confinement (potentiel harmonique intense dans la direction orthogonale
à la courbe créant une force de rappel intense vers les points de la courbe).
Soit r = (x, y) ∈ R 2 la position d’un point matériel de masse m dans le plan (on
a choisi un système de coordonnées euclidiennes) et soit
Vω(x, y) = V0(x, y) + 1
2 mω2 y 2
(1.3.12)
le potentiel tout à fait général dans lequel est plongé ce point de masse m. Nous
allons ensuite considérer la limite ω → ∞ qui permettra de confiner le point matériel
sur l’axe des x.
Le lagrangien du système est alors L(x, y, ˙x, ˙y) = 1
2 m( ˙x2 + ˙y 2 )−Vω(x, y). L’équation
de Lagrange pour y s’écrit d/dt(∂L/∂ ˙y) − ∂L/∂y = m(¨y + ω 2 y) + ∂V0/∂y = 0. Dans
la limite des grandes pulsations ω le dernier terme sera tout à fait négligeable et
¨y + ω 2 y 2 ≈ 0.
Cette équation différentielle possède, on le sait, une intégrale première (reliée à
l’énergie) e = ˙y 2 +ω 2 y 2 = ω 2 y 2 max = const. Donc −ymax ≤ y ≤ ymax où ymax = √ e/ω.
Finalement ymax → 0 si ω → ∞ et le point est donc confiné sur la courbe y = 0 par
cet artifice mathématique.
L’équation de Lagrange pour x s’écrit d/dt(∂L/∂ ˙x)−∂L/∂x = m¨x+∂V0/∂x = 0.