Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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78 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE ainsi que ˙ψ = I1 b − I3 u(a − bu) 1 − u 2 . (4.5.19) Notons que le polynôme (4.5.17) du troisième degré f(u) = βu 3 + . . . tend vers ±∞ quand u → ±∞. D’autre part, (4.5.16) imposant −1 ≤ u ≤ 1, on a en fait f(±1) = −(a ∓ b) 2 < 0, si a = ±b, aux bornes de l’intervalle permis pour u. Il est donc clair que le polynôme f(u) a, pour un mouvement réel de la toupie, trois racines réelles u1, u2 et u3 telles que, génériquement, −1 < u1 < u2 < +1 < u3. Mais ˙u 2 = f(u) ≥ 0 impose enfin u ∈ [u1, u2]. L’angle θ(t) que fait l’axe de la toupie avec la verticale varie donc périodiquement entre deux valeurs θ1 et θ2 (avec cos θk = uk pour k = 1, 2) dépendant des conditions initiales, c’est le mouvement de nutation de la toupie θ2 ≤ θ(t) ≤ θ1. Enumérons maintenant, grâce à (4.5.18), les différentes lois horaires φ(t) de l’azi- mut, c’est-à-dire les mouvements de précession. Posons u ′ = a b ℓ3 = . L3 1. Si u ′ /∈]u1, u2[, alors ˙ φ(t) = 0 ; la fonction φ(t) est monotone et l’axe de la toupie effectue un mouvement de précession uniforme autour de la verticale. 2. Si u ′ ∈]u1, u2[, alors ˙ φ(t) change de signe au cours du temps t ; la direction de l’axe de la toupie effectue des aller-retours selon des courbes en feston sur la sphère unité. 3. Si u ′ = u1 (resp. u ′ = u2), la vitesse ˙ φ(t) s’annule périodiquement sur le parallèle θ = θ1 (resp. θ = θ2) ; la direction de l’axe de la toupie décrit une courbe avec pointes (points de rebroussement) sur la sphère unité. Exercice 4.5.8. Il existe une solution particulière des équations de Lagrange avec axe de la toupie vertical, θ(t) = 0 ; cette solution, telle que ℓ3 = L3 = I3Ω3 = const. avec Ω3 = ˙ φ + ˙ ψ est appelée toupie dormante. A quelle condition la position d’équilibre θ = 0 est-elle une position d’équilibre stable ?
4.5. TOUPIE DE LAGRANGE 79 Démonstration. Développons le potentiel effectif (4.5.15) au voisinage de θ = 0 en posant θ = εθ1 avec ε ≪ 1. Il vient aisément Veff(θ) = L23 (1 − cos(εθ1)) 2I1 2 sin2 (εθ1) = MgR + ε 2 2 I3Ω2 3 8I1 + MgR cos(εθ1) − MgR 2 θ 2 1 + O(ε 4 ) et θ = 0 est une position d’équilibre stable si V ′′ eff (0) > 0, c’est-à-dire si Ω 2 3 > 4MgRI1 I2 . 3 En présence de frottements, la vitesse angulaire Ω3 diminue et viole l’inégalité ci- dessus : la toupie se . . . réveille.
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