Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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26 CHAPITRE 2. LES ÉQUATIONS DE HAMILTON symétrique : ω(δx, δ ′ x) ≡ −ω(δ ′ x, δx). (ii) On a de plus ω(δx, δ ′ x) = δα(δ ′ x) − δ ′ α(δx) où α(δx) = p · δq (2.2.9) et (iii) ker ω = {0}. Une telle application ω : T ∗ R n × T ∗ R n → R est appelée forme symplectique canonique de l’espace des phases. 7 Démonstration. On a clairement l’identité ω(δx, δ ′ x) + ω(δ ′ x, δx) ≡ 0 et de plus ω(δx, aδ ′ x + bδ ′′ x) ≡ a ω(δx, δ ′ x) + b ω(δx, δ ′′ x) pour tous a, b ∈ R ; d’où le (i). L’expression (2.2.9) reproduit simplement la définition (2.2.8), ce qui justifie (ii). Enfin, δx ∈ ker ω ssi ω(δx, δ ′ x) = 0 pour tout δ ′ x ; mais, cette dernière condition implique à la fois δp = 0 et δq = 0, c’est-à-dire δx = 0, d’où (iii). Soit H(x) un hamiltonien, le champ de vecteurs x ↦→ δHx défini par (2.2.6), c’est-à-dire ω(δHx, δ ′ x) ≡ −δ ′ H (2.2.10) est le champ hamiltonien associé à H — déjà introduit en (2.2.5) ; cette dernière définition est maintenant intrinsèque (car elle ne met en jeu que la fonction H et la forme symplectique ω mais pas un système de coordonnées particulier). Proposition 2.2.6. Les équations de Hamilton associées à un hamiltonien H(x) prennent la forme d’une équation différentielle ordinaire du premier ordre, à savoir : dx dt = δHx (2.2.11) avec la définition (2.2.10) du champ hamiltonien δH ; le crochet de Poisson de deux observables F et G quelconques retient alors la forme suivante : {F, G} = δF G. 7. Il est possible, mais non obligatoire, de reformuler les résultats précédents en termes de formes différentielles : ω = n i=1 dpi ∧ dq i est une 2-forme inversible et fermée de T ∗ R n ; elle est, en fait exacte puisque ω = dα avec α = n i=1 pidq i .
2.2. CROCHETS DE POISSON ET TRANSFORMATIONS CANONIQUES 27 2.2.3 Transformations canoniques Définition intrinsèque Les équations de Hamilton (2.2.7) on été écrites dans un système de coordon- nées (p, q) particulier de l’espace des phases T ∗ R n . Est-il possible de déterminer un changement de coordonnées f : T ∗ R n → T ∗ R n tel que (P, Q) = f(p, q) et tel que les équations de Hamilton retiennent la même forme dans les deux systèmes de coordonnées ? à savoir ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ˙p = − ∂h ∂q ˙q = + ∂h ∂p et ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ˙P = − ∂H ∂Q ˙Q = + ∂H ∂P (2.2.12) avec l’expression suivante de l’hamiltonien dans les deux systèmes de coordonnées h(p, q) = H(P, Q). (2.2.13) Un tel changement de coordonnées x ↦→ X = f(x) doit être différentiable et (locale- ment) inversible, x = f −1 (X), et préserver la forme symplectique (2.2.8), c’est-à-dire ω(δx, δ ′ x) ≡ ω(δX, δ ′ X) (2.2.14) pour préserver la forme des équations de Hamilton associées au hamiltonien (2.2.13). Définition 2.2.7. On appelle transformation canonique 8 toute application dif- férentiable f : x ↦→ X de T ∗ R n qui invarie la forme symplectique ω selon (2.2.14). Exercice 2.2.8. A quelle condition une transformation linéaire A : x ↦→ X = Ax de R 2 est-elle une transformation canonique ? Exercice 2.2.9. Soit q ↦→ Q(q) une fonction monotone, Q ′ (q) = 0, d’une variable réelle. Vérifier que l’application f : R 2 → R 2 : (p, q) ↦→ (P = p/Q ′ (q), Q(q)) est une transformation canonique. 9 8. On dit aussi symplectomorphisme. 9. Les transformations canoniques introduites dans cet exercice se généralisent au cas d’un
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