Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

28 CHAPITRE 2. LES ÉQUATIONS DE HAMILTON
Démonstration. On a P δQ = (p/Q ′ (q))δQ(q) = (p/Q ′ (q))Q ′ (q)δq = pδq. Donc
δP δ ′ Q − δ ′ P δQ ≡ δpδ ′ q − δ ′ pδq, d’où (2.2.14).
Introduisons maintenant la notion utile de fonction génératrice d’une transfor-
mation canonique.
Lemme 2.2.10. Soit x ↦→ X une transformation de T ∗ R n telle que
α(δX) = α(δx) + δF (2.2.15)
pour une certaine fonction différentiable F : T ∗ R n → R de l’espace des phases. 10
Cette transformation est automatiquement une transformation canonique ; on ap-
pelle F fonction génératrice de cette transformation canonique.
Démonstration. On a ω(δX, δ ′ X) = δα(δ ′ X) − δ ′ α(δX) = δ(α(δ ′ X)) − δ ′ (α(δX)) −
α(δδ ′ X − δ ′ δX). Alors ω(δX, δ ′ X) = ω(δx, δ ′ x) + (δδ ′ F − δ ′ δF ) − (δδ ′ F − δ ′ δF ) =
ω(δx, δ ′ x).
Nous pouvons donc écrire, en particulier,
P · δQ − p · δq = δF (2.2.16)
ce qui implique que la fonction génératrice est, ici, une fonction F (Q, q) telle que
P = ∂F
∂Q
& p = − ∂F
. (2.2.17)
∂q
Exercice 2.2.11. Trouver la transformation canonique définie par la fonction génératrice
suivante : F (Q, q) = 〈Q, q〉.
Démonstration. On trouve, grâce à (2.2.17), P = q et p = −Q. Il vient donc
(P, Q) = (q, −p) qui est bien une transformation canonique. 11
nombre arbitraire n de degrés de liberté. En effet, soit Q : q ↦→ Q = Q(q) : Rn → Rn une
transformation différentiable et d’inverse différentiable, on montre (exercice !) que la transformation
de T ∗Rn suivante f : (p, q) ↦→ (P, Q) où
P = p
−1 ∂Q
∂q
est une transformation canonique.
10. On supposera F au moins deux fois différentiable.
11. En effet, on a δP · δ ′ Q − δ ′ P · δQ = δq · δ ′ (−p) − δ ′ q · δ(−p) = δp · δ ′ q − δ ′ p · δq.