Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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66 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE où RA, RB1, RB2, T sont des constantes et P = P le poids de la personne. Il vient, grâce à (4.3.31), −RA cos α + T = 0 et, grâce à (4.3.32), +RA sin α + RB1 − P = 0 (4.3.35) 2LRA sin α cos α − 1 LP cos α = 0 (4.3.36) 2 en désignant provisoirement par L la longueur des montants de l’échelle. Enfin (4.3.33) entraîne +RA cos α − T = 0 −RA sin α + RB2 = 0 (4.3.37) On déduit de (4.3.35) que T = RA cos α & RB1 = P − RA sin α et de (4.3.37) que RB2 = RA sin α. Enfin, (4.3.36) entraîne RA = P 4 sin α , RB1 = 3P 4 , RB2 = P P , T = 4 4 tan α , ce qui constitue le résultat attendu. 4.4 Equations d’Euler & mouvements de Poinsot Nous étudions dans ce chapitre le mouvement d’un solide libre autour d’un point O, c’est-à-dire mobile autour d’un point fixe en l’absence de forces extérieures. 4.4.1 Equations d’Euler Le théorème (4.3.26) nous apprend alors que le moment angulaire du solide par rapport à O et dans le repère “fixe” est ℓ = const. Théorème 4.4.1. L’évolution temporelle du moment angulaire L d’un solide libre, par rapport à un point fixe O, est gouvernée, dans un repère mobile lié au solide, par 5 où le vecteur Ω représente la vitesse angulaire du solide. dL dt = L × Ω (4.4.1) 5. Ce théorème est dû à L. Euler, “Theoria motus corporum solidorum” (1765).
4.4. EQUATIONS D’EULER & MOUVEMENTS DE POINSOT 67 Démonstration. Puisque ℓ = AL = const. où, cf. (4.3.16), A(t) ∈ SO(3) représente la configuration du solide à l’instant t, on a ˙ ℓ = ˙ AL + A ˙ L = 0. Il s’ensuit que ˙ AA −1 AL + A ˙ L = j(ω)AL + A ˙ L = 0, grâce à (3.2.4). Mais (3.2.10) conduit, si ω = AΩ, à Aj(Ω)A −1 AL+A ˙ L = 0, i.e. à A(j(Ω)L+ ˙ L) = 0 qui achève la preuve. Exprimons maintenant les équations d’Euler (4.4.1) dans un référentiel propre du solide, c’est-à-dire dans un référentiel lié au solide dans lequel l’opérateur d’inertie soit diagonal, ⎛ I = ⎝ I1 I2 I3 ⎞ ⎠ (4.4.2) où I1, I2 et I3 représentent les valeurs propres (nécessairement positives) de I. Mais le moment angulaire L est, rappelons-le, relié à la vitesse angulaire Ω par L = I Ω, cf. (4.3.17), i.e. ⎛ ⎝ L1 L2 L3 ⎞ ⎛ ⎠ = ⎝ I1Ω1 I2Ω2 I3Ω3 Les équations (4.4.1) s’écrivent alors dans ce repère ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ou encore ⎝ I1 ˙ Ω1 I2 ˙ Ω2 I3 ˙ Ω3 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ⎠ = ⎝ I1Ω1 I2Ω2 I3Ω3 ⎞ ⎠ × ⎝ I1 ˙ Ω1 = (I2 − I3) Ω2Ω3 I2 ˙ Ω2 = (I3 − I1) Ω3Ω1 I3 ˙ Ω3 = (I1 − I2) Ω1Ω2 ⎠ . (4.4.3) Ω1 Ω2 Ω3 ⎞ ⎠ (4.4.4) Le système d’équations non linéaire (4.4.4) constitue les équations d’Euler régissant l’évolution temporelle de la vitesse angulaire d’un solide libre autour d’un point fixe. Remarque 4.4.2. (i) L’intégration de ce système d’équations différentielles est délicate, dans le cas général d’une toupie asymétrique où I1, I2 et I3 sont tous différents (elle met en jeu les fonctions elliptiques). (ii) Dans le cas particulier d’une toupie à symétrie sphérique, I1 = I2 = I3, on retrouve, par contre, le résultat élémentaire du Corollaire 4.3.22.
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viii INTRODUCTION L’autre approch
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x INTRODUCTION
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