Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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$Initiation à LATEX - CPT$

10 CHAPITRE 1. LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE en recherchant des solutions particulières du système (1.3.6) et (1.3.7) sous la forme θ1(t) = A cos ωt θ2(t) = B cos ωt où A, B et ω > 0 sont des constantes à déterminer. On trouve aisément ⎧ ⎪⎨ ω ⎪⎩ 2 1 + µ B A = g ω ℓ 2 1 + B A = g B ℓ A (1.3.8) et, en divisant membre à membre les deux équations précédentes, (B/A) 2 = 1/µ. En reportant maintenant ce résultat : B = ± A ± 1 √ µ dans une des deux équations (1.3.8), il vient alors ω 2 ± = g/ℓ 1 ± √ µ . Les deux pendules oscillent en phase aux basses fréquences : ⎧ ⎪⎨ θ ⎪⎩ + 1 (t) θ = A cos(ω+t) + 2 (t) = A √ cos(ω+t) µ & g/ℓ ω+ = 1 + √ µ ou en opposition de phase aux hautes fréquences : ⎧ ⎪⎨ θ ⎪⎩ − 1 (t) θ = A cos(ω−t) − 2 (t) = A √ cos(ω−t + π) µ & g/ℓ ω− = 1 − √ µ où θ ± 1 (0) = A reste arbitraire mais . . . petit. 1.3.3 Liaisons holonomes (1.3.9) (1.3.10) Si un point matériel est astreint à se mouvoir sur une courbe ou une surface dans l’espace euclidien (par exemple sur une sphère de rayon donné dans le cas du pendule sphérique), on dit que le système présente une liaison holonome.
1.3. EQUATIONS DE LAGRANGE 11 Donnons maintenant la définition générale de la notion de liaison holonome. Considérons un système mécanique à n degrés de liberté, i.e. dont la configuration est déterminée par n paramètres indépendants. Par exemple un système de N particules évoluant dans l’espace euclidien E 3 est un système à n = 3N degrés de liberté ; dans ce cas (E 3 ) N = E 3 × . . . × E 3 est l’espace de configuration. 5 Supposons maintenant que les points soient contraints à se déplacer sur une hypersurface définie par une équation F (M1, . . . , MN) = 0 (1.3.11) où F : (E 3 ) N → R m est une application différentiable (avec 0 < m < n) définissant la contrainte ; nous définirons le nouvel espace de configuration par Q = F −1 (0). Cette hypersurface (ou “variété”) est décrite par n − m coordonnés “généralisées” ; dans ce cas dim(Q) = n−m est le nombre de degrés de liberté du système contraint. 6 Nous dirons que la condition (1.3.11) est une liaison holonome pour le système. Remarque 1.3.2. Les liaisons holonomes ne mettent pas en jeu des conditions sur les vitesses des points du système. Par exemple la liaison décrivant une roue roulant sans glisser sur une route est une liaison non holonome — elle exprime le fait que la vitesse du point de contact de la roue avec le sol est nulle. Exemple 1.3.3. Un haltère formé de deux masses reliées par un manche de longueur ℓ > 0 a pour espace de configuration Q = {(r1, r2) ∈ R 3 × R 3 | F (r1, r2) = r1 − r2 2 − ℓ 2 = 0} et cet espace de dimension 5 a la topologie Q ∼ = R 3 × S 2 où S 2 désigne la 2-sphère (de rayon ℓ > 0) plongée dans R 3 . 5. Il faudrait, en fait, considérer que l’espace de configuration est plutôt (E 3 ) N − {collisions}. 6. Ceci découle du fait que F est supposé de rang maximum (un point technique important mais délicat que nous ne développerons pas).
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