Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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22 CHAPITRE 2. LES ÉQUATIONS DE HAMILTON de masse m et de charge électrique q plongée dans une champ électromagnétique extérieur (E, B) dérivant, cf. (1.3.19), d’un potentiel vecteur A et d’un potentiel scalaire φ. Calculons donc le moment conjugué p = ∂L/∂ ˙r. Il vient aisément de sorte que ˙r = (p − qA)/m. On a alors H = p.˙r − L p = m˙r + qA = p · (p − qA) 1 − L m = p · (p − qA) 1 m − 1 2 m 2 1 (p − qA) m + q 〈A, 1 (p − qA)〉 − φ m = (p − qA) · (p − qA) 1 1 − m 2 m 2 1 (p − qA) m + qφ = 1 2m p − qA2 + qφ. Si H0(p, r) = p 2 /(2m) désigne l’hamiltonien libre d’une particule (non relativiste) de masse m, l’hamiltonien décrivant les mouvements de cette particule dans un champ électrique dérivant d’un potentiel φ sera donné, cf. (2.1.5), par l’hamiltonien standard H(p, r, t) = H0(p, r) + V (r, t) où V = qφ. Nous venons de prouver que le couplage minimal à un champ électromagnétique extérieur s’opère maintenant par la prescription plus subtile qui consiste à remplacer H0(p, r) par H(p, r, t) = 1 2m p − qA(r, t)2 + qφ(r, t) (2.1.15) Exercice 2.1.9. Ecrire les équations de Hamilton pour le hamiltonien (2.1.15) et retrouver les équations de Lorentz (1.3.20). 2.2 Crochets de Poisson et transformations canoniques Introduisons dans ce chapitre des notions nouvelles et importantes en mécanique analytique, à savoir celles de crochet de Poisson et de structure symplectique. Ces
2.2. CROCHETS DE POISSON ET TRANSFORMATIONS CANONIQUES 23 notions ont conduit à des généralisations multiples dans le cadre géométrique et algébrique relevant des mathématiques et de la physique mathématique. 2.2.1 Crochets de Poisson Considérons une fonction différentiable F : T ∗ M → R de l’espace des phases à valeurs réelles, ce que l’on appelle observable classique F (p, q) en physique. 4 Comment évolue cette fonction au cours du temps ? compte tenu de l’évolution temporelle propre du système hamiltonien. Nous avons dF dt = ∂F ∂p = − ∂F ∂p · dp dt · ∂H ∂q + ∂F ∂q + ∂F ∂q · dq dt · ∂H ∂p grâce aux équations de Hamilton (2.1.2). D’où le résultat suivant Définition-Théorème 2.2.1. Nous appellerons crochet de Poisson de deux ob- servables F et G de l’espace des phases la nouvelle observable 5 {F, G} = n ∂F i=1 ∂pi ∂G ∂F − ∂qi ∂qi ∂G ∂pi (2.2.1) de sorte que l’évolution temporelle de toute observable classique F soit gouvernée par l’équation différentielle dF dt = {H, F } (2.2.2) Bien entendu, les équations de Hamilton (2.1.2) sont retrouvées via (2.2.2) car ˙pi = {H, pi} = −∂H/∂q i et ˙q i = {H, q i } = ∂H/∂pi pour tout i = 1, . . . , n. Corollaire 2.2.1. L’hamiltonien H est une constante du mouvement, dH dt = 0. (2.2.3) 4. Nous avons déjà rencontré de telles fonctions, par exemple l’hamiltonien H (énergie), une composante pi de l’impulsion d’une particule, une composante q j de sa position à un instant donné avec (i, j = 1, 2, 3), etc. 5. Tout système de coordonnées (p1, . . . , pn, q 1 , . . . , q n ) dans lequel le crochet de Poisson est de la forme (2.2.1) est dit système de coordonnées canoniques.
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