Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

68 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE
4.4.2 Exemple : la toupie symétrique
Si une toupie possède un axe de symétrie privilégié, disons de direction e ′ 3, 6 on
est en présence d’un système à symétrie cylindrique. L’opérateur d’inertie de
cette toupie prend la forme (4.4.2) avec
Dans ces conditions, il vient trivialement grâce à (4.4.4)
I1 = I2 = I3. (4.4.5)
Ω3 = const. (4.4.6)
De même, on trouve ˙ Ω1 = ((I1 − I3)/I1)Ω3 Ω2 et ˙ Ω2 = ((I3 − I1)/I1)Ω3 Ω1, i.e.
˙Ω1 = −ωΩ2 et ˙ Ω2 = ωΩ1 ou encore, en posant Ω = Ω1 + iΩ2,
˙Ω = iωΩ avec ω = I3 − I1
Ω3. (4.4.7)
La solution générale de (4.4.7), à savoir
Ω(t) = Ω0 e iω[t−t0]
I1
(4.4.8)
avec Ω0 = const. > 0 et t0 ∈ R met en évidence le fait que la projection Ω de la
vitesse angulaire sur la plan orthogonal à l’axe de la toupie tourne avec une vitesse
angulaire constante ω donnée en (4.4.7). Grâce à (4.4.5) on conclut que la vitesse
angulaire Ω et le moment angulaire L ont un mouvement de précession autour
de l’axe de la toupie ; ils tournent autour de cet axe avec la même vitesse angulaire ω.
4.4.3 Mouvements de Poinsot
Etudions maintenant le mouvement du moment angulaire d’un solide générique,
par exemple d’une toupie asymétrique dont l’opérateur d’inertie I a des valeurs
propres I1, I2, I3 différentes, par exemple telles que
I1 > I2 > I3. (4.4.9)
Nous avons immédiatement un résultat général donné par le
6. Rappelons que la configuration du solide est donnée par la matrice de rotation A = (e ′ 1 e ′ 2 e ′ 3).