Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

64 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE
On obtient, grâce à (4.3.26) et au fait que k = R × Mg = MR u × g, l’équation
différentielle ˙ ℓ ∼ = I ˙ωspin = Iωspin ˙u = −MR g×u, conduisant à l’équation différentielle
suivante gouvernant le mouvement de l’axe de la toupie
du
dt ∼ = ωprec × u où ωprec = − MR
Iωspin
g. (4.3.29)
La direction de la toupie évolue donc au cours du temps selon la loi u(t) = A(t)u0
où A(t) est une matrice de rotation autour de la verticale (la direction de g) et de
vitesse angulaire constante de précession
ωprec = MRg
Iωspin
où g = g est l’intensité de l’accélération de la pesanteur. 4
4.3.5 Lois de la statique
Un solide est en équilibre statique si chacun de ses points a une position fixe,
donc une vitesse nulle ; l’impulsion totale et le moment angulaire total du solide
sont donc nuls, i.e. p = 0 et ℓ = 0. Ceci signifie, cf. les Théorèmes généraux (4.1.4)
et (4.1.6), que la somme des forces extérieures agissant sur le solide et le moment,
par rapport à un point O, de ces forces sont nécessairement tous deux nuls.
Définition 4.3.25. Soient f la somme des forces extérieures et k le moment des
forces extérieures relativement à un point O agissant sur un solide. Les conditions
d’équilibre de ce solide sont
f = 0 & k = 0 (4.3.30)
Remarque 4.3.26. Les conditions d’équilibre (4.3.30) sont, en fait, indépendantes
du choix du point de base O.
Quand il y a contact entre solides, les conditions d’équilibre doivent s’appliquer
à chaque solide. Le contact entre deux solides en équilibre est garanti par la présence
4. On a bien ˙
A(t)A(t) −1 = j(ωprec).