Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

4.5. TOUPIE DE LAGRANGE 73
attachée à la toupie prend la forme suivante
A = A3(φ)A1(θ)A3(ψ) (4.5.1)
Définition 4.5.1. L’angle 0 ≤ φ ≤ 2π est appelé azimut et 0 ≤ θ ≤ π angle de
nutation, l’angle 0 ≤ ψ ≤ 2π étant quant à lui l’angle de rotation propre (ou
spin) ; voir la Fig. 4.2. 10 L’axe engendré par e ∗ 1 est appelé ligne des nœuds.
Figure 4.2 – Angles d’Euler
Les trois angles d’Euler fournissent ainsi une “carte locale”
]0, 2π[×]0, π[×]0, 2π[ → SO(3) : (φ, θ, ψ) ↦→ A(φ, θ, ψ)
du groupe des rotations. (Les rotations infinitésimales forment, cf. (3.2.4), un espace
vectoriel réel de dimension 3 constitué des vecteurs instantanés de rotation ω ∈ R 3 .)
Nous avons donc la
Proposition 4.5.2. Les matrices A ∈ SO(3) sont de la forme générique
A(φ, θ, ψ) = exp(φ j(e3)) exp(θ j(e1)) exp(ψ j(e3)). (4.5.2)
Démonstration. La preuve découle du résultat (4.5.1) et du fait qu’une rotation
d’angle α autour d’une direction fixe u est de la forme A = exp(α j(u)) où l’exponen-
tielle d’une matrice Z est définie par la série
exp(Z) = 1 + Z + Z2
2!
dont on démontre qu’elle est convergente.
+ . . . + Zn
n!
10. http ://mathworld.wolfram.com/EulerAngles.html
+ . . . =
+∞
n=0
Z n
n!