Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

16 CHAPITRE 1. LES ÉQUATIONS DE LAGRANGE
Les équations de Lagrange s’écrivent alors
0 = dpi ∂L
−
dt ∂xi = m¨xi + q ˙
3
Ai − q ∂iAj ˙x j
− ∂iφ
= m¨xi + q
= m¨xi + q
3
j=1
−
j=1
∂jAi ˙x j + ∂tAi
− q
3
3
Fij ˙x j
+ ∂tAi + ∂iφ
j=1
où l’on a défini le tenseur magnétique antisymétrique
Fij = ∂iAj − ∂jAi
j=1
∂iAj ˙x j − ∂iφ
pour tous i, j = 1, 2, 3 — on vérifie que F12 = (rotA)3 = B3, etc., grâce à (1.3.19).
En d’autres termes la matrice 3 × 3 antisymétrique (F i j ) ≡ (Fij) est donnée par
F = −j(B)
où j(B) ∈ L(R 3 ) est l’opérateur linéaire défini par
où × désigne le produit vectoriel de R 3 .
j(B)v := B × v ∀v ∈ R 3
On obtient enfin les équations de Lagrange m¨r + q [B × ˙r + ∂tA + gradφ] = 0,
c’est-à-dire, compte tenu de (1.3.19),
m¨r = q E + ˙r × B
(1.3.20)
L’équation différentielle (1.3.20) du second ordre est l’équation de Lorentz dont les
solutions r(t) constituent les mouvements (ou trajectoires) d’une particule chargée
dans un champ électromagnétique extérieur.