Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

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32 CHAPITRE 3. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES EN REPÈRES MOBILES Définition 3.1.1. On appelle repère (affine) d’un espace affine (A n , V n ) un couple R = (O, S) formé d’une “origine” O ∈ A n et d’une base S = (e1 . . . en) de V n . 1 Les coordonnées r = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n d’un point M, dans ce repère, sont définies par M = Rr = O + Sr n = O + i=1 ei x i . Exercice 3.1.2. Montrer que les changements de repères affines forment un groupe, le groupe affine composé des matrices (n + 1) × (n + 1) de la forme A b a = 0 1 (3.1.2) où A ∈ GL(n, R), le groupe multiplicatif des matrices réelles n × n inversibles, et b ∈ R n . Définition 3.1.3. On appelle produit scalaire euclidien d’un espace vectoriel V n toute application bilinéaire symétrique non dégénérée positive : c’est-à-dire vérifiant g : V n × V n → R 1. g(λ1v1 + λ2v2, w) = λ1 g(v1, w) + λ2 g(v2, w) 2. g(v, w) = g(w, v) 3. g(v, w) = 0 pour tout w ∈ V n ssi v = 0 4. v 2 := g(v, v) ≥ 0 [et v = 0 ssi v = 0]. pour tous λ1, λ2 ∈ R et v1, v2, v, w ∈ V n . Définition 3.1.4. Nous dirons qu’une base S = (e1 . . . en) est orthonormée si pour tous i, j = 1, . . . , n. 2 g(ei, ej) = δij 1. Une base est un isomorphisme linéaire S : R n → V n . 2. On désigne par δij le symbole de Kronecker, égal à 1 si i = j et à 0 sinon. (3.1.3)
3.1. LE GROUPE EUCLIDIEN 33 par On note g(v, w) ≡ 〈v, w〉 le produit scalaire euclidien canonique de R n donné 〈v, w〉 = v w = en désignant par une barre la transposition. 3 n i=1 v i w i (3.1.4) Nous pouvons maintenant donner la définition générale d’un espace euclidien. Définition 3.1.5. On appelle espace euclidien tout espace affine E n dont l’espace vectoriel associé est un espace euclidien (V n , g). Si une base S orthonormée de V n est donnée on notera g(δM, δ ′ M) = 〈δr, δ ′ r〉 (3.1.5) le produit scalaire de deux vecteurs δM, δ ′ M ∈ V n d’origine M ∈ E n et de compo- santes δr, δ ′ r ∈ R n dans cette base. 3.1.2 Isométries euclidiennes Le groupe orthogonal Considérons l’ensemble des matrices n × n réelles, A, inversibles, dont l’inverse est égal à la transposée, c’est-à dire telles que A −1 = A. (3.1.6) Ces matrices forme un groupe. En effet, A = 1 (la matrice identité) vérifie bien (3.1.6) et sera clairement l’élément neutre. De plus, si A et B sont deux telles matrices, il 3. La transposée A d’une matrice A à m lignes et n colonnes est la matrice à n lignes et m colonnes obtenue en échangeant lignes et colonnes de A, i.e. (A) i j = Aji pour tous i = 1, . . . , n et j = 1, . . . , m. En particulier le transposé d’un vecteur ⎛ ⎜ v = ⎝ v1 . vn ⎞ ⎟ ⎠ ∈ R n est le covecteur v = (v 1 . . . v n ) ∈ (R n ) ∗ .
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