Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

20 CHAPITRE 2. LES ÉQUATIONS DE HAMILTON
2.1.1 Exercices
Voici maintenant quelques exercices simples pour illustrer l’usage des équations
de Hamilton.
Exercice 2.1.6. Donner le hamiltonien H(pθ, θ) du pendule simple de longueur ℓ
dans le champ de pesanteur d’accélération g = const. > 0. Ecrire les équations de
Hamilton. Conclusion ?
Exercice 2.1.7. On considère le hamiltonien
H(p, r) = p
n(r)
(2.1.7)
fonction de (p, r) ∈ (R 3 \{0})×R 3 , où n(r) > 0 une fonction différentiable. Montrer
que les équations de Hamilton correspondent aux équations de Fermat (1.2.2) pour
un indice de réfraction variable n(r).
Démonstration. Indication : introduire la vitesse unitaire u = p/p = dr/ds.
Exercice 2.1.8. Etudions la dynamique hamiltonienne dans un référentiel tournant
(par exemple lié à un manège) à une vitesse angulaire constante ω = ωez autour de
la direction ez. On suppose que ces deux référentiels coïncident au temps t = 0.
1. Montrer que si q = (x, y, z) désignent les coordonnées dans le référentiel “fixe”
et = Q = (X, Y, Z) celles associées au référentiel tournant, à l’instant t, on a
x = X cos ωt − Y sin ωt (2.1.8)
y = X sin ωt + Y cos ωt (2.1.9)
z = Z (2.1.10)
2. Exprimer l’énergie cinétique T (Q, ˙ Q) d’un point matériel libre de masse m.
3. Si V (Q) désigne le potentiel dans lequel est plongé le point matériel, donner
l’expression du lagrangien L(Q, ˙ Q) du système.
4. En déduire le hamiltonien H(P, Q).