Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

22 CHAPITRE 2. LES ÉQUATIONS DE HAMILTON
de masse m et de charge électrique q plongée dans une champ électromagnétique
extérieur (E, B) dérivant, cf. (1.3.19), d’un potentiel vecteur A et d’un potentiel
scalaire φ.
Calculons donc le moment conjugué p = ∂L/∂ ˙r. Il vient aisément
de sorte que ˙r = (p − qA)/m. On a alors
H = p.˙r − L
p = m˙r + qA
= p · (p − qA) 1
− L
m
= p · (p − qA) 1
m −
1
2 m
2
1
(p − qA)
m + q 〈A, 1
(p − qA)〉 − φ
m
= (p − qA) · (p − qA) 1 1
−
m 2 m
2
1
(p − qA)
m + qφ
= 1
2m p − qA2 + qφ.
Si H0(p, r) = p 2 /(2m) désigne l’hamiltonien libre d’une particule (non relativiste)
de masse m, l’hamiltonien décrivant les mouvements de cette particule dans un
champ électrique dérivant d’un potentiel φ sera donné, cf. (2.1.5), par l’hamiltonien
standard H(p, r, t) = H0(p, r) + V (r, t) où V = qφ. Nous venons de prouver que
le couplage minimal à un champ électromagnétique extérieur s’opère maintenant
par la prescription plus subtile qui consiste à remplacer H0(p, r) par
H(p, r, t) = 1
2m p − qA(r, t)2 + qφ(r, t) (2.1.15)
Exercice 2.1.9. Ecrire les équations de Hamilton pour le hamiltonien (2.1.15) et
retrouver les équations de Lorentz (1.3.20).
2.2 Crochets de Poisson et transformations canoniques
Introduisons dans ce chapitre des notions nouvelles et importantes en mécanique
analytique, à savoir celles de crochet de Poisson et de structure symplectique. Ces