Mécanique du solide et Mécanique analytique - CPT

78 CHAPITRE 4. MÉCANIQUE DU SOLIDE
ainsi que
˙ψ = I1
b −
I3
u(a − bu)
1 − u 2 . (4.5.19)
Notons que le polynôme (4.5.17) du troisième degré f(u) = βu 3 + . . . tend vers
±∞ quand u → ±∞. D’autre part, (4.5.16) imposant −1 ≤ u ≤ 1, on a en fait
f(±1) = −(a ∓ b) 2 < 0, si a = ±b, aux bornes de l’intervalle permis pour u. Il
est donc clair que le polynôme f(u) a, pour un mouvement réel de la toupie, trois
racines réelles u1, u2 et u3 telles que, génériquement, −1 < u1 < u2 < +1 < u3. Mais
˙u 2 = f(u) ≥ 0 impose enfin u ∈ [u1, u2]. L’angle θ(t) que fait l’axe de la toupie avec
la verticale varie donc périodiquement entre deux valeurs θ1 et θ2 (avec cos θk = uk
pour k = 1, 2) dépendant des conditions initiales, c’est le mouvement de nutation
de la toupie
θ2 ≤ θ(t) ≤ θ1.
Enumérons maintenant, grâce à (4.5.18), les différentes lois horaires φ(t) de l’azi-
mut, c’est-à-dire les mouvements de précession. Posons
u ′ = a
b
ℓ3
= .
L3
1. Si u ′ /∈]u1, u2[, alors ˙ φ(t) = 0 ; la fonction φ(t) est monotone et l’axe de la
toupie effectue un mouvement de précession uniforme autour de la verticale.
2. Si u ′ ∈]u1, u2[, alors ˙ φ(t) change de signe au cours du temps t ; la direction de
l’axe de la toupie effectue des aller-retours selon des courbes en feston sur la
sphère unité.
3. Si u ′ = u1 (resp. u ′ = u2), la vitesse ˙ φ(t) s’annule périodiquement sur le
parallèle θ = θ1 (resp. θ = θ2) ; la direction de l’axe de la toupie décrit une
courbe avec pointes (points de rebroussement) sur la sphère unité.
Exercice 4.5.8. Il existe une solution particulière des équations de Lagrange avec
axe de la toupie vertical, θ(t) = 0 ; cette solution, telle que ℓ3 = L3 = I3Ω3 = const.
avec Ω3 = ˙ φ + ˙ ψ est appelée toupie dormante. A quelle condition la position
d’équilibre θ = 0 est-elle une position d’équilibre stable ?